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- copilot-conversation
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**user**: 解释从3-25到3-30的部分
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[Timestamp: 2025/10/03 09:27:18]
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**user**: [[Chap 3 RESPONSE TO HARMONIC LOADING谐波载荷响应]]解释从公式3-25到公式3-30的部分
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[Timestamp: 2025/10/03 09:28:05]
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**ai**: 好的，我们来逐步解释[[Chap 3 RESPONSE TO HARMONIC LOADING谐波载荷响应]]中从公式3-25到公式3-30的部分。
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这部分内容介绍了一种求解稳态谐波响应的替代方法，即使用复指数形式。这种方法在处理更复杂的谐波载荷（例如周期性载荷的傅里叶级数）时尤其方便和强大。
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### **公式 (3-25): 复指数形式的运动方程**
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\ddot{v}(t)+2\,\xi\,\omega\,\dot{v}(t)+\omega^{2}\,v(t)=\frac{p_{o}}{m}\;\exp[i\left(\overline{{\omega}}t+\phi\right)]\tag {3-25}
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* **目的**: 这是标准的单自由度（SDOF）有阻尼系统的运动方程，但右侧的谐波载荷 $p(t)$ 被表示为复指数形式。
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* **解释**:
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* 根据欧拉公式，$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$。因此，一个复指数函数 $\exp[i(\overline{\omega}t)]$ 同时包含了 $\cos(\overline{\omega}t)$ 和 $\sin(\overline{\omega}t)$ 两个分量。
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* 通过使用复数形式的载荷和响应，我们可以将包含相位差的正弦和余弦运算转化为简单的代数运算，从而简化求解过程。
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* $\phi$ 是载荷的初始相位角。在后续的推导中，为了简化，作者假设 $\phi=0$，即载荷为 $p(t) = p_o \exp(i\overline{\omega}t)$。这并不失一般性，因为任何相位差最终都会体现在响应的复振幅中。
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### **公式 (3-26): 假设的特解形式**
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\begin{array}{l}{{v_{p}(t)=G\,\exp(i\overline{{{\omega}}}t)}}\\ {{\dot{v}_{p}(t)=i\,\overline{{{\omega}}}\,G\,\exp(i\overline{{{\omega}}}t)}}\\ {{\ddot{v}_{p}(t)=-\overline{{{\omega}}}^{2}\,G\,\exp(i\overline{{{\omega}}}t)}}\end{array}\tag {3-26}
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* **目的**: 假设系统的稳态响应（特解）也具有与载荷相同的谐波形式。
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* **解释**:
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* 由于系统是线性的，当输入（载荷）是频率为 $\overline{\omega}$ 的谐波时，其稳态输出（响应）也必然是同频率的谐波。
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* $v_p(t) = G \exp(i\overline{\omega}t)$ 是假设的响应形式。这里的 $G$ 是一个**复常数**（Complex Constant）。$G$ 的模 $|G|$ 代表了响应的振幅，而 $G$ 的辐角 $\arg(G)$ 代表了响应相对于载荷的相位差。
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* 下面两行是该响应对时间的一阶和二阶导数，即速度和加速度。求导过程很简单，每次求导都会从指数项中多出一个因子 $i\overline{\omega}$。
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### **公式 (3-27): 求解复常数 G**
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G=\frac{p_{o}}{k}\left[\frac{1}{\left(1-\beta^{2}\right)+i\left(2\xi\beta\right)}\right]=\frac{p_{o}}{k}\left[\frac{(1-\beta^{2})-i\left(2\xi\beta\right)}{(1-\beta^{2})^{2}+(2\xi\beta)^{2}}\right]\tag {3-27}
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* **目的**: 确定复常数 $G$ 的具体表达式。
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* **推导过程**:
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1. 将公式 (3-26) 中的 $v_p, \dot{v}_p, \ddot{v}_p$ 代入到运动方程 (3-25)（其中 $\phi=0$）。
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2. 得到：$(-\overline{\omega}^2 G + 2\xi\omega(i\overline{\omega}G) + \omega^2 G) \exp(i\overline{\omega}t) = \frac{p_o}{m} \exp(i\overline{\omega}t)$。
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3. 消去两边共有的项 $\exp(i\overline{\omega}t)$，得到：$G(-\overline{\omega}^2 + i2\xi\omega\overline{\omega} + \omega^2) = \frac{p_o}{m}$。
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4. 将方程两边同除以 $\omega^2$，并利用关系式 $\beta = \overline{\omega}/\omega$ 和 $k = m\omega^2$：
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$G(-\beta^2 + i2\xi\beta + 1) = \frac{p_o}{m\omega^2} = \frac{p_o}{k}$。
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5. 求解 $G$，得到：$G = \frac{p_o}{k} \frac{1}{(1-\beta^2) + i(2\xi\beta)}$。这就是公式 (3-27) 的第一部分。
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6. 为了将 $G$ 分解为实部和虚部，将分母实数化（乘以其共轭复数 $(1-\beta^2) - i(2\xi\beta)$），就得到了公式的第二部分。
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* **解释**: 这个复数 $G$ 包含了响应的全部信息：
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* **振幅**: $|G| = \frac{p_o}{k} \frac{1}{\sqrt{(1-\beta^2)^2 + (2\xi\beta)^2}}$。
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* **相位**: $\arg(G) = \tan^{-1}\left(\frac{-(2\xi\beta)}{1-\beta^2}\right) = -\theta$。这表示响应滞后于载荷一个角度 $\theta$。
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### **公式 (3-28): 极坐标形式的稳态响应**
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v_{p}(t)=\rho\,\,\exp[i\left(\overline{{\omega}}t-\theta\right)]\tag {3-28}
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* **目的**: 将稳态响应 $v_p(t)$ 写成更直观的极坐标形式。
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* **解释**:
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* 这是 $v_p(t) = G \exp(i\overline{\omega}t)$ 的另一种写法。
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* 我们将复常数 $G$ 表示为其极坐标形式 $G = \rho e^{-i\theta}$。
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* $\rho = |G|$ 是响应的振幅，其表达式与之前用三角函数法得到的公式 (3-22) 完全相同。
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* $\theta$ 是响应滞后于载荷的相位角，其表达式与公式 (3-23) 完全相同。
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* 这个公式清晰地表明，稳态响应是一个以角频率 $\overline{\omega}$ 旋转的向量，其振幅为 $\rho$，并且在相位上比载荷 $p(t) = p_o \exp(i\overline{\omega}t)$ 滞后了角度 $\theta$。
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### **公式 (3-29) 和 (3-30): 系统中的各个力**
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p(t)=p_{o}\,\exp(i\overline{{\omega}}t)\tag {3-29}
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\begin{array}{l}{{f_{I_{p}}(t)=m~\ddot{v}_{p}(t)=-m\,\overline{{{\omega}}}^{2}\,\rho~\exp[i\,(\overline{{{\omega}}}t-\theta)]}}\\ {{f_{D_{p}}(t)=c\,\dot{v}_{p}(t)=i\,c\,\overline{{{\omega}}}\,\rho~\exp[i\,(\overline{{{\omega}}}t-\theta)]}}\\ {{f_{S_{p}}(t)=k\,v_{p}(t)=k\,\rho~\exp[i\,(\overline{{{\omega}}}t-\theta)]}}\end{array}\tag {3-30}
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* **目的**: 在稳态响应下，分析系统中的各个力（惯性力、阻尼力、弹簧力）与外载荷之间的关系。
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* **解释**:
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* **公式 (3-29)** 只是重申了我们所施加的外载荷的复指数形式。
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* **公式 (3-30)** 是将稳态响应 (3-28) 代入到各个力的定义中得到的：
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* **弹簧力 $f_S$**: 与位移 $v_p(t)$ 成正比，因此与位移向量同向。
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* **阻尼力 $f_D$**: 与速度 $\dot{v}_p(t)$ 成正比。由于速度向量 $\dot{v}_p$ 比位移向量 $v_p$ 在复平面上超前 $90^\circ$（因为乘以了因子 $i$），所以阻尼力向量也比位移向量超前 $90^\circ$。
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* **惯性力 $f_I$**: 与加速度 $\ddot{v}_p(t)$ 成正比。由于加速度向量 $\ddot{v}_p$ 比位移向量 $v_p$ 超前 $180^\circ$（因为乘以了因子 $i^2 = -1$），所以惯性力向量与位移向量反向。
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* **物理意义**: 这三个力是系统内部抵抗外载荷的力。在任何时刻，这三个力的矢量和必须与外载荷 $p(t)$ 相等，以满足动态平衡（$f_I + f_D + f_S = p(t)$）。**图3-6** 正是这一平衡关系的图形化表示，它将这四个力向量在复平面上画出，形成一个封闭的力多边形，直观地展示了动态平衡。
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### **总结**
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从公式 (3-25) 到 (3-30) 的推导，展示了如何利用复数代数来求解谐波激励下的单自由度系统响应。其核心思想是：
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1. 将谐波载荷和响应都用复指数表示。
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2. 将微分方程转化为代数方程，求解出响应的复振幅 $G$。
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3. 复振幅 $G$ 的模和辐角分别对应真实响应的振幅和相位。
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4. 最后，通过分析各个力的复数表达式，可以在复平面上清晰地展示系统在稳态振动下的力平衡关系。
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这种方法不仅与之前使用三角函数的求解结果完全一致，而且在数学上更为简洁，尤其是在处理更复杂的振动问题时优势更为明显。
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[Timestamp: 2025/10/03 09:28:52]
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**user**: [[Chap 3 RESPONSE TO HARMONIC LOADING谐波载荷响应]]展示3-3节 RESONANT RESPONSE共振响应 的推导过程
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[Timestamp: 2025/10/03 15:57:51]
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**ai**: 好的，我们来详细解析[[Chap 3 RESPONSE TO HARMONIC LOADING谐波载荷响应]]中第3-3节**共振响应 (RESONANT RESPONSE)** 的推导过程。
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这一节的核心是分析当外部激励频率与系统固有频率相同时（即共振时）系统的响应行为，包括稳态响应和包含瞬态效应的总响应。
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### **1. 稳态响应下的共振 (Steady-State Resonance)**
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共振 (Resonance) 被定义为激励频率与系统的无阻尼固有频率相等的情况，即频率比 $\beta = \overline{\omega}/\omega = 1$。
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#### **推导公式 (3-31): 共振时的动力放大系数**
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* **出发点**: 稳态响应的动力放大系数 $D$ 的通用公式 (3-24):
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D = \left[(1-\beta^{2})^{2}+(2\xi\beta)^{2}\right]^{-1/2} \tag{3-24}
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* **推导过程**:
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1. 将共振条件 $\beta = 1$ 代入公式 (3-24)。
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2. 分母中的第一项 $(1-\beta^2)^2$ 变为 $(1-1^2)^2 = 0$。
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3. 分母中的第二项 $(2\xi\beta)^2$ 变为 $(2\xi \cdot 1)^2 = (2\xi)^2$。
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4. 因此，分母变为 $\sqrt{0 + (2\xi)^2} = \sqrt{(2\xi)^2} = 2\xi$。
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5. 所以，在 $\beta=1$ 时的动力放大系数为：
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D_{\beta=1}=\frac{1}{2\,\xi} \tag{3-31}
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* **物理意义**: 这个简单的公式表明，在共振时，稳态响应的振幅与阻尼比 $\xi$ 成反比。阻尼越小，振幅越大。当阻尼趋于零时（$\xi \to 0$），理论上稳态振幅趋于无穷大。
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### **2. 峰值响应 (Peak Response)**
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从图3-3可以看出，对于有阻尼的系统，响应的峰值（最大值）并不严格出现在 $\beta=1$ 处，而是略小于1。
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#### **推导公式 (3-32) 和 (3-33): 峰值响应对应的频率比和动力放大系数**
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* **出发点**: 动力放大系数 $D$ 的公式 (3-24)。为了求其最大值，我们需要找到使其分母最小的 $\beta$ 值。令分母的平方为函数 $f(\beta)$:
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f(\beta) = (1-\beta^2)^2 + (2\xi\beta)^2 = 1 - 2\beta^2 + \beta^4 + 4\xi^2\beta^2
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* **推导过程**:
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1. 对 $f(\beta)$ 关于 $\beta$ 求导，并令其等于零，以找到极值点：
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\frac{df}{d\beta} = -4\beta + 4\beta^3 + 8\xi^2\beta = 0
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2. 由于我们关心的是 $\beta > 0$ 的情况，可以两边同除以 $4\beta$:
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-1 + \beta^2 + 2\xi^2 = 0
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3. 解出使响应达到峰值的 $\beta^2$:
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\beta^2 = 1 - 2\xi^2
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4. 因此，峰值频率比为：
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\beta_{\mathrm{peak}}=\sqrt{1-2\,\xi^{2}} \tag{3-32}
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这个结果只有在 $1-2\xi^2 > 0$ (即 $\xi < 1/\sqrt{2} \approx 0.707$) 时才有意义。
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5. 将 $\beta_{\mathrm{peak}}^2 = 1 - 2\xi^2$ 代回到 $D$ 的分母平方 $f(\beta)$ 中：
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f(\beta_{\mathrm{peak}}) = (1 - (1-2\xi^2))^2 + 4\xi^2(1-2\xi^2) = (2\xi^2)^2 + 4\xi^2 - 8\xi^4 = 4\xi^4 + 4\xi^2 - 8\xi^4 = 4\xi^2(1-\xi^2)
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$$
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6. 分母为 $\sqrt{f(\beta_{\mathrm{peak}})} = \sqrt{4\xi^2(1-\xi^2)} = 2\xi\sqrt{1-\xi^2}$。
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7. 因此，最大的动力放大系数为：
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$$
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D_{\mathrm{max}}={\frac{1}{2\,\xi\,{\sqrt{1-\xi^{2}}}}} \tag{3-33}
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$$
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* **说明**: 对于结构工程中常见的小阻尼（如 $\xi < 0.2$），$\sqrt{1-2\xi^2}$ 非常接近1，因此峰值响应频率 $\beta_{\mathrm{peak}}$ 与共振频率 $\beta=1$ 非常接近，且 $D_{\mathrm{max}}$ 与 $D_{\beta=1}$ 的值也相差无几。
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### **3. 包含瞬态响应的共振分析**
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为了更完整地理解共振，需要考虑从静止开始的整个响应过程，这包括了瞬态响应和稳态响应。
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#### **推导公式 (3-34): 共振时的总响应方程**
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* **出发点**: 包含瞬态和稳态项的总响应通用公式 (3-19):
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v(t)=\left[A\,\cos\omega_{D}t+B\,\sin\omega_{D}t\right]\,\,\exp(-\xi\omega t) + \frac{p_{o}}{k}\frac{(1-\beta^{2})\,\sin\overline{{\omega}}t-2\xi\beta\,\cos\overline{{\omega}}t}{(1-\beta^{2})^{2}+(2\xi\beta)^{2}}
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$$
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* **推导过程**:
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1. 将共振条件 $\beta=1$ (即 $\overline{\omega}=\omega$) 代入上式。
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2. 稳态项的分母变为 $(1-1^2)^2 + (2\xi \cdot 1)^2 = (2\xi)^2$。
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3. 稳态项的分子中，$(1-\beta^2)\sin\omega t$ 变为 0。
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4. 稳态项的分子中，$-2\xi\beta\cos\omega t$ 变为 $-2\xi\cos\omega t$。
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5. 因此，稳态项简化为：
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\frac{p_o}{k} \frac{-2\xi\cos\omega t}{(2\xi)^2} = -\frac{p_o}{k} \frac{\cos\omega t}{2\xi}
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$$
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6. 将简化后的稳态项与瞬态项组合，得到共振时的总响应方程：
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$$
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v(t)=(A\ \cos\omega_{D}t+B\ \sin\omega_{D}t)\ \exp(-\xi\omega t)-{\frac{p_{o}}{k}}\ {\frac{\cos\omega t}{2\,\xi}} \tag{3-34}
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$$
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#### **推导公式 (3-35) 和 (3-36): 从静止开始的共振响应**
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* **条件**: 系统从静止开始，即初始条件为 $v(0)=0$ 和 $\dot{v}(0)=0$。
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* **推导过程**:
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1. **应用 $v(0)=0$**:
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将 $t=0$ 代入 (3-34):
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$v(0) = (A\cos(0) + B\sin(0))e^0 - \frac{p_o}{k}\frac{\cos(0)}{2\xi} = A - \frac{p_o}{k}\frac{1}{2\xi} = 0$
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解得: $A = \frac{p_o}{k}\frac{1}{2\xi}$。
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2. **应用 $\dot{v}(0)=0$**:
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首先对 (3-34) 求导得到速度 $\dot{v}(t)$：
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$\dot{v}(t) = [(-A\omega_D\sin\omega_Dt + B\omega_D\cos\omega_Dt)e^{-\xi\omega t} + (A\cos\omega_Dt + B\sin\omega_Dt)(-\xi\omega)e^{-\xi\omega t}] + \frac{p_o}{k}\frac{\omega\sin\omega t}{2\xi}$
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将 $t=0$ 代入:
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$\dot{v}(0) = [(0 + B\omega_D)e^0 + (A+0)(-\xi\omega)e^0] + 0 = B\omega_D - A\xi\omega = 0$
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解得: $B = A\frac{\xi\omega}{\omega_D} = (\frac{p_o}{k}\frac{1}{2\xi})\frac{\xi\omega}{\omega_D} = \frac{p_o}{k}\frac{\omega}{2\omega_D}$。
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因为 $\omega_D = \omega\sqrt{1-\xi^2}$，所以 $B = \frac{p_o}{k}\frac{1}{2\sqrt{1-\xi^2}}$。
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这样就得到了公式 (3-35)。
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3. **代入 A 和 B**:
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将求得的 A 和 B 代回 (3-34)，并将公共因子 $\frac{p_o}{k}\frac{1}{2\xi}$ 提出，即可得到公式 (3-36)。
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#### **推导公式 (3-37) 和 (3-38): 小阻尼和无阻尼的近似**
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* **推导 (3-37) - 小阻尼近似**:
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1. 对于结构工程中的小阻尼，$\xi \ll 1$，因此 $\sqrt{1-\xi^2} \approx 1$ 且 $\omega_D \approx \omega$。
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2. 将此近似代入 (3-36)，并将响应写成响应比 $R(t) = v(t)/(p_o/k)$ 的形式：
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$R(t) \approx \frac{1}{2\xi} [(\frac{\xi}{1}\sin\omega t + \cos\omega t)e^{-\xi\omega t} - \cos\omega t]$
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3. 整理上式，将 $\cos\omega t$ 合并：
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$R(t) \approx \frac{1}{2\xi} [ (e^{-\xi\omega t}-1)\cos\omega t + \xi e^{-\xi\omega t}\sin\omega t ]$
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这就是公式 (3-37)。
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* **推导 (3-38) - 无阻尼极限**:
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1. 当 $\xi \to 0$ 时，公式 (3-37) 变为 $0/0$ 的不定式。
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2. 此时需要使用洛必达法则，对分子和分母同时关于 $\xi$ 求导。
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3. 令分子为 $N(\xi) = (e^{-\xi\omega t}-1)\cos\omega t + \xi e^{-\xi\omega t}\sin\omega t$。
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4. 令分母为 $D(\xi) = 2\xi$。
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5. 求导：
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$N'(\xi) = (-\omega t e^{-\xi\omega t})\cos\omega t + (e^{-\xi\omega t} - \xi\omega t e^{-\xi\omega t})\sin\omega t$
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$D'(\xi) = 2$
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6. 计算极限 $\xi \to 0$:
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$\lim_{\xi\to 0} \frac{N'(\xi)}{D'(\xi)} = \frac{(-\omega t e^0)\cos\omega t + (e^0 - 0)\sin\omega t}{2} = \frac{-\omega t\cos\omega t + \sin\omega t}{2}$
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7. 整理后得到无阻尼共振响应比：
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R(t) = \frac{1}{2}(\sin\omega t - \omega t \cos\omega t) \tag{3-38}
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* **物理意义**: 这个公式中的 $\omega t \cos\omega t$ 项表明，无阻尼系统在共振激励下，其振幅会随着时间 $t$ 线性无限增大，这正是共振导致结构破坏的理论原因。
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[Timestamp: 2025/10/03 15:58:49] |