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第一章 绪论
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- 本章主要介绍了动力学的基本概念和符号1。
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- 强调了在分析复杂系统时，使用详细的符号的重要性，例如，在分析由多个刚体组成的系统时，需要区分不同刚体在不同参考系中的角速度和速度1。
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- 通过一个例子展示了如何使用偏导数来处理在不同参考系中定义的向量，并说明了如何计算向量在给定参考系中对时间的普通导数23。
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- 介绍了如何利用公式推导向量的导数关系，例如，通过将标量函数和向量进行关联，推导出了向量的导数公式4。
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第二章 运动学
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- 本章讨论了运动学，即研究物体运动而不考虑力的作用5。
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- 介绍了一个点在刚体上运动时的速度和加速度的计算方法，包括科里奥利加速度的概念6。
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- 通过例子展示了如何使用速度和加速度的定义来推导表达式5。
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- 讨论了广义坐标的概念，并使用例子说明了如何验证一组坐标是否为广义坐标78。
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- 介绍了完整系统和非完整系统的概念，以及简单非完整系统的定义9。
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- 阐述了部分角速度和部分速度的概念，区分了完整和非完整系统的部分速度和角速度，并介绍了它们之间的关系101112。
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- 讨论了加速度和部分速度之间的关系，以及如何使用广义速度来表示加速度1314。
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第三章 质量分布
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- 本章主要关注质量分布的描述15。
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- 介绍了惯性标量的概念，包括转动惯量和惯性积16。
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- 讨论了如何使用惯性张量来表示刚体的惯性特性1718。
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- 介绍如何利用质心来简化计算19。
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- 讨论了主惯性轴的概念，以及如何使用主惯性轴来简化转动惯量表达式20。
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第四章 广义力
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- 本章介绍了广义力的概念，以及如何计算作用在系统上的力所产生的广义力21。
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- 讨论了接触力和距离力对广义力的贡献22。
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- 探讨了相互作用力在广义力中的贡献2324。
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- 介绍了如何计算重力对广义力的贡献2526。
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- 通过例子展示了如何计算特定情况下的广义力2728。
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- 讨论了势能和广义力之间的关系，并解释了如何使用积分来找到势能函数293031。
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- 介绍了如何用势能来计算广义力3233。
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- 讨论了耗散力以及如何定义一个耗散函数来描述这些力3435。
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第五章 能量函数
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- 本章主要介绍了能量函数，包括动能和势能35。
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- 讨论了如何计算一组粒子的动能35。
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- 介绍了如何使用质心速度和角速度来计算刚体的动能36。
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- 通过例子展示了如何验证动能的计算公式37。
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- 讨论了动能和广义速度之间的关系，以及如何使用动能来表示广义惯性力37。
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第六章 动力学方程
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- 本章探讨了动力学方程的建立，即如何将力和运动联系起来38。
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- 使用牛顿定律推导了动力学方程38。
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- 通过一个例子展示了如何建立受约束的单摆的运动方程38394041...。
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- 讨论了如何使用线性化方法来简化运动方程444546。
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- 通过一个例子展示了如何处理有多个约束的系统，并使用偏速度来计算广义力47。
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第七章 动量积分
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- 本章介绍了动量积分的概念，以及如何利用动量积分来简化运动方程48。
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- 讨论了线性动量和角动量的守恒原理48。
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- 介绍了如何选择广义速度和广义坐标来描述无约束运动的系统49。
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- 通过一个例子展示了如何利用动量积分来求解运动方程5051。
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- 讨论了如何分析具有阻尼器的系统的运动52。
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- 推导了刚体动力学的方程5354。
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- 介绍了广义冲量的概念，以及如何通过冲量和广义动量的变化来分析碰撞555657。
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- 讨论了碰撞期间的速度变化58。
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- 推导了碰撞后的速度关系5960。
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第八章 振动
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- 本章讨论了振动的概念，包括自由振动和受迫振动61。
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- 介绍了模态矩阵和正规坐标的概念61。
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- 讨论了如何利用模态叠加来分析系统的振动62。
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- 介绍如何对系统的运动进行模态截断近似63。
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- 展示了如何用计算机求解振动问题63。
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问题集
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本部分包含了一系列问题，涵盖了前面各章节所介绍的知识点64656667...。
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- 这些问题涉及到运动学，质量分布，广义力，能量函数，动力学方程，动量积分和振动等多个方面。
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- 问题涵盖了曲线运动，刚体运动，碰撞，阻尼和振动等多种情况。
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- 问题形式多样，包括证明题，计算题和概念题，可以帮助读者加深对理论知识的理解和应用。
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附录
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- 提供了一些常用的几何形状的惯性特性数据，可以方便读者进行计算108。
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索引
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- 提供了书中相关概念的索引，方便读者查找相关内容109
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总的来说，这份资料涵盖了动力学的基本概念，分析方法和应用，从简单的质点运动到复杂的刚体运动，从运动学到动力学，都有详细的介绍。通过这些内容，读者可以系统地学习和理解动力学原理。
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# 向量的微分
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动力学这一学科涉及各种变化，例如粒子在参考系中位置的变化、机械系统配置的变化等。为了描述这些变化的方式，我们使用向量微积分，这可以视作对通常教授的标量函数微积分材料的扩展。这种扩展主要是为了适应参考系在动力学中许多感兴趣的向量问题中起着核心作用的事实。例如，设 $\pmb{A}$ 和 $\pmb{B}$ 是彼此相对移动但始终有一个共同点 $o$ 的参考系，并设 $\pmb{P}$ 是固定在 $\pmb{A}$ 中的一点，因而在 $\pmb{B}$ 中是运动的。那么，在 $\pmb{A}$ 中 $\pmb{P}$ 的速度为零，而在 $\pmb{B}$ 中 $\pmb{P}$ 的速度不为零。现在，这两个速度都是相同向量 ${\mathfrak{r}}^{o r}$ 关于时间的导数，即从 $^o$ 到 $\pmb{P}$ 的位置矢量。因此，不能简单地谈论 ${\mathsf{r}}^{o P}$ 关于时间的导数。显然，用来微分向量的计算必须允许我们区分在参考系 $\pmb{A}$ 中关于标量变量的微分和在相同变量中但是参考系 $\pmb{B}$ 的微分。
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在应用动力学的基本原理时，如牛顿第二定律或角动量原理，只需要普通向量微积分，即关于单一标量变量（通常是时间）的向量微分理论。考虑到更高级的动力学原理，如本书后续章节中所呈现的，还需对向量进行多个标量变量（例如广义坐标和广义速度）的偏导数。因此，本章专门讨论了在接下来的章节中需要的定义及其推论。
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当一个向量 \(\mathbf{v}\) 的大小和/或在参考系 \(A\) 中的方向依赖于标量变量 \(q\) 时，\(\mathbf{v}\) 被称为在 \(A\) 中关于 \(q\) 的向量函数。否则，\(\mathbf{v}\) 在 \(\pmb A\) 中被认为是独立于 \(\pmb q\) 的。
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例如，在图 1.1.1 中，\(\pmb{P}\) 表示一个点在刚体球面 \(S\) 上移动。像任何刚体一样，它可以被视为一个参考系（注意：参考系不应与坐标系统混淆；许多坐标系统可以嵌入到给定的参考系中）。如果 \(\pmb{\Psi}\) 是从球心 \(c\) 到点 \(\pmb{P}\) 的位置向量，而 \(\pmb q_{1}\) 和 \(\pmb q_{2}\) 是图中所示的角度，则在 \(S\) 中，\(\pmb{\mathbf{p}}\) 是关于 \(\pmb q_{1}\) 和 \(\pmb q_{2}\) 的向量函数，因为 \(\pmb{\mathbb{p}}\) 在 \(s\) 中的方向依赖于 \(\pmb q_{1}\) 和 \(q_{2}\)，但 \(\pmb{\mathsf{p}}\) 在 \(S\) 中独立于 \(\pmb q_{3}\)，其中 \(\pmb q_{3}\) 是从 \(c\) 到图中所示位置的点 \(\pmb R\) 的距离。从 \(c\) 到 \(\pmb R\) 的位置向量 \(\mathbf{r}\) 在 \(S\) 中是关于 \(\pmb q_{3}\) 的向量函数，但在 \(S\) 中独立于 \(\pmb q_{1}\) 和 \(\pmb q_{2}\)，而从 \(\pmb{P}\) 到 \(\pmb R\) 的位置向量 \(\pmb q\) 在 \(S\) 中是关于 \(\pmb q_{1}\), \(\boldsymbol{q}_{2}\), 和 \(\pmb q_{3}\) 的向量函数。
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