obsidian_backup/copilot-conversations/20251007_173204__[[Chap_8]]8-5_到8-7_主要讲了什么内容.md

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user: Chap 88-5 到8-7 主要讲了什么内容 [Timestamp: 2025/10/07 17:32:04]

ai: 根据您提供的笔记 Chap 8，8-5 到 8-7 节主要讲解了使用瑞利法（Rayleigh's Method）来近似分析结构的振动频率。

以下是各节内容的具体概括：

8-5 瑞利法振动分析 (VIBRATION ANALYSIS BY RAYLEIGH’S METHOD)

这一节介绍了瑞利法的基本概念和原理。

• 核心思想: 将一个复杂的、具有无限自由度的系统（如梁、塔）通过假设一个振动形状（shape function, $\psi(x)$）来简化为等效的单自由度（SDOF）系统，从而近似计算其基频。
• 两种推导方式:
  1. 广义坐标法: 直接使用前面章节定义的广义质量 m^* 和广义刚度 $k^*$，这两个量都是基于假定的形状函数 \psi(x) 计算得出的。振动频率由公式 \omega = \sqrt{k^*/m^*} 给出。
  2. 能量守恒原理: 对于无阻尼自由振动系统，其总能量是守恒的。因此，系统在振动过程中的最大动能 (T_{max}) 必须等于其最大势能（应变能, $V_{max}$）。通过建立这两种能量的表达式并令其相等，就可以求解出振动频率 $\omega$。
• 瑞利商 (Rayleigh's Quotient): 对于梁结构，通过能量法最终推导出的频率计算公式为： \omega^{2}={\frac{\int_{0}^{L}E I(x)\,[\psi^{\prime\prime}(x)]^{2}\,d x}{\int_{0}^{L}m(x)\,[\psi(x)]^{2}\,d x}} 这个公式的分子就是广义刚度 $k^$，分母是广义质量 $m^$。

8-6 瑞利法振动形状的选择 (SELECTION OF THE RAYLEIGH VIBRATION SHAPE)

这一节讨论了如何选择一个合适的振动形状 \psi(x) 以获得更准确的结果。

• 关键原则: 任何不真实的假设形状都会对系统产生额外的约束，使其“变硬”，因此计算出的频率总是会高于或等于真实的基频。这意味着，在不同假设形状的计算结果中，频率最低的那个是最好的近似值。
• 如何选择好的形状: 一个非常有效的方法是使用结构在静力荷载作用下的变形曲线作为假设的振动形状。这个静力荷载应该能模拟振动时的惯性力分布。
• 实用方法: 通常选择结构在**自重（或类似重力的横向荷载）**作用下的静变形曲线作为 $\psi(x)$。这种方法不仅物理意义合理，而且可以简化势能的计算，通常能得到非常精确的结果。

8-7 改进的瑞利法 (IMPROVED RAYLEIGH METHOD)

这一节介绍了一种系统性的、迭代的程序来进一步提高瑞利法的计算精度。

• 基本流程:
  1. 从一个初始的、任意选择的形状 \psi^{(0)}(x) 开始（Method R₀₀，即标准瑞利法）。
  2. 根据这个初始形状 \psi^{(0)} 计算出系统振动时的惯性力分布。
  3. 将这个惯性力作为静力荷载施加到结构上，计算出新的变形形状 $\psi^{(1)}(x)$。
  4. 使用新的形状来重新计算频率。
• 两种改进方法:
  • Method R₀₁: 使用初始形状 \psi^{(0)} 计算动能，但使用新形状 \psi^{(1)} 和初始惯性力来计算势能。这种方法避免了对初始形状函数求二阶导数，通常能提高精度。
  • Method R₁₁: 使用新计算出的形状 \psi^{(1)} 来计算动能和势能。这是更进一步的改进，结果通常非常接近精确解。
• 收敛性: 这个迭代过程如果重复进行（用 \psi^{(1)} 计算 $\psi^{(2)}$，以此类推），最终会收敛到结构真实的振动形状和精确的振动频率。但在实际应用中，进行一次迭代（即 Method R₁₁）通常就足够了。 [Timestamp: 2025/10/07 17:32:37]

user: 详细展开8-7节的推导内容 [Timestamp: 2025/10/07 17:37:09]

ai: 好的，我们来详细展开第 8-7 节 “改进的瑞利法” (IMPROVED RAYLEIGH METHOD) 的推导内容。

这一节的核心思想是：标准的瑞利法依赖于一个一次性的形状假设，其精度完全取决于这个假设的好坏。而改进的瑞利法是一个迭代过程，它利用上一步计算的结果来获得一个更好的振动形状，从而得到更精确的频率。

整个推导过程基于能量守恒原理：最大势能 (V_{max}) = 最大动能 (T_{max})。不同方法的区别在于它们如何计算这两项能量。

---

1. 基础：标准瑞利法 (Method R₀₀)

这是我们进行改进的出发点。

• 第一步：初始形状假设 我们首先假设一个初始的振动形状，记为 $v^{(0)}(x,t)$。上标 (0) 代表这是第0次迭代，即我们的初始猜测。

  v^{(0)}(x,t) = \psi^{(0)}(x) \, Z_{0}^{(0)} \, \sin(\omega t) \quad (8-33)

  其中：

  • \psi^{(0)}(x) 是初始的、无量纲的形状函数。
  • Z_{0}^{(0)} 是该形状的振幅。
  • \omega 是我们要求解的未知振动频率。

• 第二步：计算能量 基于这个初始形状，我们计算最大势能和最大动能。

  • 最大势能 (V_{max}) 来自于结构弯曲产生的应变能，它在位移最大时达到峰值：
  V_{\mathrm{max}}^{(0)} = \frac{1}{2} \int_{0}^{L} EI(x) \left( \frac{\partial^2 v^{(0)}}{\partial x^2} \right)^2_{\mathrm{max}} dx = \frac{(Z_{0}^{(0)})^2}{2} \int_{0}^{L} EI(x) \, (\psi''^{(0)})^2 \, dx \quad (8-34)
  • 最大动能 (T_{max}) 来自于质量块的运动，它在速度最大时达到峰值。速度为 $\dot{v}^{(0)} = \psi^{(0)}(x) , Z_{0}^{(0)} , \omega \cos(\omega t)$，最大速度为 $\omega Z_{0}^{(0)} \psi^{(0)}(x)$。
  T_{\mathrm{max}}^{(0)} = \frac{1}{2} \int_{0}^{L} m(x) (\dot{v}^{(0)})^2_{\mathrm{max}} dx = \frac{(Z_{0}^{(0)})^2 \omega^2}{2} \int_{0}^{L} m(x) \, (\psi^{(0)})^2 \, dx \quad (8-35)

• 第三步：求解频率 令 $V_{\mathrm{max}}^{(0)} = T_{\mathrm{max}}^{(0)}$，消去公共项 $\frac{(Z_{0}^{(0)})^2}{2}$，解出 $\omega^2$：

  \omega^2 = \frac{\int_{0}^{L} EI(x) \, (\psi''^{(0)})^2 \, dx}{\int_{0}^{L} m(x) \, (\psi^{(0)})^2 \, dx} \quad (8-36)

  这就是标准瑞利法 (Method R₀₀) 的公式。它的主要缺点是需要计算 $\psi''^{(0)}$，如果初始形状 \psi^{(0)} 只是一个粗略的近似，其二阶导数可能会有很大误差。

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2. 第一次改进 (Method R₀₁)

这次改进的核心是用更物理的方式计算势能。

• 第一步：计算等效惯性力 振动是由惯性力引起的。基于我们初始假设的形状 $v^{(0)}$，在位移最大时，加速度也最大，其值为 $\ddot{v}^{(0)} = -\omega^2 v^{(0)}$。因此，产生的惯性力分布为：

  p^{(0)}(x) = m(x) \cdot (\omega^2 v^{(0)}) = \omega^2 \, m(x) \, \psi^{(0)}(x) \, Z_{0}^{(0)} \quad (8-37)

  这个力 p^{(0)}(x) 是一个与 \omega^2 成正比的静力荷载，它代表了振动达到最大位移时惯性力的分布。

• 第二步：计算新的变形形状 我们将这个惯性力荷载 p^{(0)}(x) 施加到结构上，计算出它引起的静力变形，记为 $v^{(1)}(x)$。这个新的变形形状 v^{(1)} 显然比我们最初随便猜的 v^{(0)} 更接近真实的振动形状。 由于 p^{(0)} 正比于 $\omega^2$，那么它引起的变形 v^{(1)} 也必然正比于 $\omega^2$。为了方便表示，我们将其写为：

  v^{(1)} = \omega^2 \, \psi^{(1)} \, \overline{Z}_{0}^{(1)} \quad (8-38)

  这里的 \psi^{(1)} 和 \overline{Z}_{0}^{(1)} 是由荷载 m(x)\psi^{(0)}Z_0^{(0)} 产生的变形形状和幅值。\omega^2 只是一个我们还不知道的比例系数。

• 第三步：用新方法计算势能 一个物体的应变能（势能）等于使它产生该变形的外力所做的功。因此，最大势能 V_{max} 等于惯性力 p^{(0)} 在变形 v^{(1)} 上所做的功的一半：

  V_{\mathrm{max}} = \frac{1}{2} \int_{0}^{L} p^{(0)}(x) \, v^{(1)}(x) \, dx

  代入 p^{(0)} 和 v^{(1)} 的表达式：

  V_{\mathrm{max}} = \frac{1}{2} \int_{0}^{L} \left( \omega^2 m(x) \psi^{(0)} Z_{0}^{(0)} \right) \left( \omega^2 \psi^{(1)} \overline{Z}_{0}^{(1)} \right) dx V_{\mathrm{max}} = \frac{Z_{0}^{(0)} \, \overline{Z}_{0}^{(1)}}{2} \, \omega^4 \int_{0}^{L} m(x) \, \psi^{(0)} \, \psi^{(1)} \, dx \quad (8-39)

  这是我们对最大势能的改进表达式。

• 第四步：求解频率 (Method R₀₁) 现在，我们将这个改进的势能 (Eq. 8-39) 与原始的动能 (Eq. 8-35) 相等：

  \frac{Z_{0}^{(0)} \, \overline{Z}_{0}^{(1)}}{2} \, \omega^4 \int_{0}^{L} m(x) \, \psi^{(0)} \, \psi^{(1)} \, dx = \frac{(Z_{0}^{(0)})^2 \omega^2}{2} \int_{0}^{L} m(x) \, (\psi^{(0)})^2 \, dx

  两边消去 \omega^2 和其他公共项，整理后得到：

  \omega^2 = \frac{Z_{0}^{(0)}}{\overline{Z}_{0}^{(1)}} \, \frac{\int_{0}^{L} m(x) \, (\psi^{(0)})^2 \, dx}{\int_{0}^{L} m(x) \, \psi^{(0)} \, \psi^{(1)} \, dx} \quad (8-40)

  这就是 Method R₀₁ 的公式。它避免了对 \psi^{(0)} 求二阶导数，通常比 R₀₀ 更精确。

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3. 第二次改进 (Method R₁₁)

这个方法更进一步：既然我们已经得到了一个更好的形状 $v^{(1)}$，为什么不用它来计算动能呢？

• 第一步：使用改进的势能 我们继续使用 Method R₀₁ 中得到的改进势能表达式 (Eq. 8-39)。

• 第二步：使用改进的形状计算动能 我们基于新的变形 v^{(1)} 来计算最大动能。首先求速度：

  v^{(1)}(x,t) = (\omega^2 \psi^{(1)} \overline{Z}_{0}^{(1)}) \sin(\omega t) \dot{v}^{(1)}(x,t) = (\omega^2 \psi^{(1)} \overline{Z}_{0}^{(1)}) \omega \cos(\omega t) = \omega^3 \psi^{(1)} \overline{Z}_{0}^{(1)} \cos(\omega t)

  最大速度为 $\omega^3 \psi^{(1)} \overline{Z}_{0}^{(1)}$。 因此，最大动能为：

  T_{\mathrm{max}} = \frac{1}{2} \int_{0}^{L} m(x) (\dot{v}^{(1)})^2_{\mathrm{max}} dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{L} m(x) \left( \omega^3 \psi^{(1)} \overline{Z}_{0}^{(1)} \right)^2 dx T_{\mathrm{max}} = \frac{(\overline{Z}_{0}^{(1)})^2}{2} \, \omega^6 \int_{0}^{L} m(x) \, (\psi^{(1)})^2 \, dx \quad (8-41)

  这是我们对最大动能的改进表达式。

• 第三步：求解频率 (Method R₁₁) 现在，我们将改进的势能 (Eq. 8-39) 与改进的动能 (Eq. 8-41) 相等：

  \frac{Z_{0}^{(0)} \, \overline{Z}_{0}^{(1)}}{2} \, \omega^4 \int_{0}^{L} m(x) \, \psi^{(0)} \, \psi^{(1)} \, dx = \frac{(\overline{Z}_{0}^{(1)})^2}{2} \, \omega^6 \int_{0}^{L} m(x) \, (\psi^{(1)})^2 \, dx

  两边消去 \omega^4 和其他公共项，整理后得到：

  \omega^2 = \frac{Z_{0}^{(0)}}{\overline{Z}_{0}^{(1)}} \, \frac{\int_{0}^{L} m(x) \, \psi^{(0)} \, \psi^{(1)} \, dx}{\int_{0}^{L} m(x) \, (\psi^{(1)})^2 \, dx} \quad (8-42)

  这就是 Method R₁₁ 的公式。这个结果通常非常精确，因为它使用了更真实的形状 \psi^{(1)} 来计算系统的两个核心属性（动能和势能）。

总结

方法	最大势能 (V_{max}) 基于	最大动能 (T_{max}) 基于	优点/特点
R₀₀	初始形状 \psi^{(0)} 的曲率	初始形状 \psi^{(0)}	简单直接，但精度依赖于初始猜测
R₀₁	惯性力 p^{(0)} 在新变形 v^{(1)} 上做的功	初始形状 \psi^{(0)}	避免了求二阶导数，精度更高
R₁₁	惯性力 p^{(0)} 在新变形 v^{(1)} 上做的功	新形状 \psi^{(1)}	最精确，因为它在动能和势能计算中都使用了改进后的形状

这个迭代过程（从 \psi^{(0)} 计算 $\psi^{(1)}$，再从 \psi^{(1)} 计算 \psi^{(2)}...）如果持续下去，最终会收敛到结构的真实基频振型和精确频率。但在工程应用中，通常一次迭代（即 R₁₁）就足以获得非常高的精度。 [Timestamp: 2025/10/07 17:37:56]