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**user**: [[Chap 9]]详细描述chap 9的内容
[Timestamp: 2025/10/29 08:07:39]

**ai**: 根据您提供的笔记 [[Chap 9]]，该章节的核心内容是**建立多自由度（MDOF）系统的运动方程**。以下是该章节的详细内容描述：

### **引言**

章节开篇首先回顾了单自由度（SDOF）系统。它指出，将复杂结构简化为SDOF系统是一种近似方法，其结果的可靠性难以评估，尤其是在荷载分布复杂或结构物理特性不适合单一变形模式的情况下。因此，为了更准确地描述结构包含位移形状和振幅随时间变化的动态响应，必须采用多自由度（MDOF）模型。

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### **9-1 自由度的选择 (SELECTION OF THE DEGREES OF FREEDOM)**

这部分内容阐述了如何为结构选择自由度以建立MDOF模型。

*   **MDOF的必要性**：通常结构的动力响应不能用SDOF模型充分描述，因为响应不仅包括振幅的变化，还包括变形形状随时间的变化。这种行为需要用多个位移坐标来描述，即多个自由度。
*   **自由度的定义**：在离散参数系统中，自由度可以被定义为结构上选定点（节点）的位移幅值。本章采用这种方法，而不是广义坐标法（将在第16章讨论）。
*   **示例**：以图9-1中的简支梁为例，其运动可以通过梁上一系列离散点的竖向位移 $v_{1}(t), v_{2}(t), ..., v_{N}(t)$ 来定义。
*   **选择与数量**：节点的选择应与结构的物理特性（如质量、刚度变化处）相关联，并能良好地定义结构的变形形状。自由度的数量由分析者决定，数量越多，对真实动力行为的近似越好。

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### **9-2 动态平衡条件 (DYNAMIC-EQUILIBRIUM CONDITION)**

本节通过建立每个自由度的动态力平衡来推导MDOF系统的运动方程。

*   **力的平衡**：在任意一个节点 $i$ 上，存在四种力：外荷载 $p_{i}(t)$，以及由运动产生的惯性力 $f_{I i}$、阻尼力 $f_{D i}$ 和弹性力 $f_{S i}$。所有自由度的动态平衡可以写成矩阵形式：
    $$
    \mathbf{f}_{I}+\mathbf{f}_{D}+\mathbf{f}_{S}=\mathbf{p}(t)
    $$
*   **各力分量的矩阵表示**：假设结构行为是线性的，各个力向量可以通过影响系数矩阵与位移、速度和加速度向量联系起来。
    *   **弹性力 (Elastic Force)**: $\mathbf{f}_{S}=\mathbf{k}\ \mathbf{v}$
        *   $\mathbf{k}$ 是**刚度矩阵 (stiffness matrix)**，其元素 $k_{ij}$ 是刚度影响系数，定义为“坐标 $j$ 产生单位位移时，在坐标 $i$ 处产生的力”。
    *   **阻尼力 (Damping Force)**: $\mathbf f_{D}=\mathbf c\,\dot{\mathbf v}$
        *   $\mathbf{c}$ 是**阻尼矩阵 (damping matrix)**，其元素 $c_{ij}$ 是阻尼影响系数，定义为“坐标 $j$ 产生单位速度时，在坐标 $i$ 处产生的力”。
    *   **惯性力 (Inertial Force)**: $\mathbf{f}_{I}=\mathbf{m}\;\ddot{\mathbf{v}}$
        *   $\mathbf{m}$ 是**质量矩阵 (mass matrix)**，其元素 $m_{ij}$ 是质量影响系数，定义为“坐标 $j$ 产生单位加速度时，在坐标 $i$ 处产生的力”。
*   **MDOF运动方程**：将上述三个力向量的表达式代入动态平衡方程，得到MDOF系统的标准运动方程：
    $$
    \mathbf{m}\,\ddot{\mathbf{v}}(t)+\mathbf{c}\,\dot{\mathbf{v}}(t)+\mathbf{k}\,\mathbf{v}(t)=\mathbf{p}(t)
    $$
    这个方程是SDOF运动方程的MDOF等价形式，其中每个标量项都被相应的矩阵（质量、阻尼、刚度矩阵）和向量（加速度、速度、位移、荷载向量）所替代。

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### **9-3 轴向力效应 (AXIAL-FORCE EFFECTS)**

本节讨论了轴向力对结构刚度的影响，并将其纳入运动方程。

*   **几何刚度**：轴向力（或任何可能引起结构屈曲的荷载）会影响结构的刚度。这种效应会产生一个额外的力分量 $\mathbf{f}_{G}$，它与位移相关，通常会“助长”变形而不是抵抗变形。
*   **包含轴向力效应的平衡方程**：
    $$
    \mathbf{f}_{I}+\mathbf{f}_{D}+\mathbf{f}_{S}-\mathbf{f}_{G}=\mathbf{p}(t)
    $$
*   **几何刚度矩阵**：力 $\mathbf{f}_{G}$ 可以通过**几何刚度矩阵 (geometric-stiffness matrix)** $\mathbf{k}_{G}$ 表示：
    $$
    \mathbf{f}_{G}=\mathbf{k}_{G}\,\mathbf{v}
    $$
*   **修正后的运动方程**：将 $\mathbf{f}_{G}$ 的表达式代入，运动方程变为：
    $$
    \mathbf{m}\,\ddot{\mathbf{v}}(t)+\mathbf{c}\,\dot{\mathbf{v}}(t)+\mathbf{k}\,\mathbf{v}(t)-\mathbf{k}_{G}\,\mathbf{v}(t)=\mathbf{p}(t)
    $$
*   **组合刚度矩阵 (Combined Stiffness Matrix)**：可以将弹性和几何刚度效应合并，定义一个**组合刚度矩阵** $\overline{{\mathbf{k}}}$：
    $$
    \overline{{\mathbf{k}}}=\mathbf{k}-\mathbf{k}_{G}
    $$
    最终，考虑轴向力效应的MDOF运动方程可以写为：
    $$
    \mathbf{m}\,\ddot{\mathbf{v}}(t)+\mathbf{c}\,\dot{\mathbf{v}}(t)+\overline{{\mathbf{k}}}\,\mathbf{v}(t)=\mathbf{p}(t)
    $$

### **总结**

[[Chap 9]] 详细阐述了从概念到数学公式，如何建立一个多自由度系统的动力学模型。它首先强调了从SDOF模型过渡到MDOF模型的必要性，然后定义了自由度，并基于动态平衡条件，系统地推导出了包含质量、阻尼和刚度矩阵的MDOF运动方程。最后，还引入了轴向力对刚度的影响，即几何刚度，并给出了考虑该效应的最终运动方程形式。
[Timestamp: 2025/10/29 08:08:02]