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**user**: [[Chap 8]]8-5 到8-7 主要讲了什么内容
[Timestamp: 2025/10/07 17:32:04]

**ai**: 根据您提供的笔记 [[Chap 8]]，8-5 到 8-7 节主要讲解了使用瑞利法（Rayleigh's Method）来近似分析结构的振动频率。

以下是各节内容的具体概括：

### 8-5 瑞利法振动分析 (VIBRATION ANALYSIS BY RAYLEIGH’S METHOD)

这一节介绍了瑞利法的基本概念和原理。
*   **核心思想**: 将一个复杂的、具有无限自由度的系统（如梁、塔）通过**假设一个振动形状**（shape function, $\psi(x)$）来简化为等效的单自由度（SDOF）系统，从而近似计算其基频。
*   **两种推导方式**:
    1.  **广义坐标法**: 直接使用前面章节定义的广义质量 $m^*$ 和广义刚度 $k^*$，这两个量都是基于假定的形状函数 $\psi(x)$ 计算得出的。振动频率由公式 $\omega = \sqrt{k^*/m^*}$ 给出。
    2.  **能量守恒原理**: 对于无阻尼自由振动系统，其总能量是守恒的。因此，系统在振动过程中的**最大动能 ($T_{max}$)** 必须等于其**最大势能（应变能, $V_{max}$）**。通过建立这两种能量的表达式并令其相等，就可以求解出振动频率 $\omega$。
*   **瑞利商 (Rayleigh's Quotient)**: 对于梁结构，通过能量法最终推导出的频率计算公式为：
    $ \omega^{2}={\frac{\int_{0}^{L}E I(x)\,[\psi^{\prime\prime}(x)]^{2}\,d x}{\int_{0}^{L}m(x)\,[\psi(x)]^{2}\,d x}} $
    这个公式的分子就是广义刚度 $k^*$，分母是广义质量 $m^*$。

### 8-6 瑞利法振动形状的选择 (SELECTION OF THE RAYLEIGH VIBRATION SHAPE)

这一节讨论了如何选择一个合适的振动形状 $\psi(x)$ 以获得更准确的结果。
*   **关键原则**: 任何不真实的假设形状都会对系统产生额外的约束，使其“变硬”，因此计算出的频率**总是会高于或等于**真实的基频。这意味着，在不同假设形状的计算结果中，**频率最低的那个是最好的近似值**。
*   **如何选择好的形状**: 一个非常有效的方法是使用结构在**静力荷载作用下的变形曲线**作为假设的振动形状。这个静力荷载应该能模拟振动时的惯性力分布。
*   **实用方法**: 通常选择结构在**自重（或类似重力的横向荷载）**作用下的静变形曲线作为 $\psi(x)$。这种方法不仅物理意义合理，而且可以简化势能的计算，通常能得到非常精确的结果。

### 8-7 改进的瑞利法 (IMPROVED RAYLEIGH METHOD)

这一节介绍了一种系统性的、迭代的程序来进一步提高瑞利法的计算精度。
*   **基本流程**:
    1.  从一个初始的、任意选择的形状 $\psi^{(0)}(x)$ 开始（**Method R₀₀**，即标准瑞利法）。
    2.  根据这个初始形状 $\psi^{(0)}$ 计算出系统振动时的惯性力分布。
    3.  将这个惯性力作为静力荷载施加到结构上，计算出**新的变形形状** $\psi^{(1)}(x)$。
    4.  使用新的形状来重新计算频率。
*   **两种改进方法**:
    *   **Method R₀₁**: 使用初始形状 $\psi^{(0)}$ 计算动能，但使用新形状 $\psi^{(1)}$ 和初始惯性力来计算势能。这种方法避免了对初始形状函数求二阶导数，通常能提高精度。
    *   **Method R₁₁**: 使用新计算出的形状 $\psi^{(1)}$ 来计算**动能和势能**。这是更进一步的改进，结果通常非常接近精确解。
*   **收敛性**: 这个迭代过程如果重复进行（用 $\psi^{(1)}$ 计算 $\psi^{(2)}$，以此类推），最终会收敛到结构真实的振动形状和精确的振动频率。但在实际应用中，进行一次迭代（即 Method R₁₁）通常就足够了。
[Timestamp: 2025/10/07 17:32:37]

**user**: 详细展开8-7节的推导内容
[Timestamp: 2025/10/07 17:37:09]

**ai**: 好的，我们来详细展开第 8-7 节 “改进的瑞利法” (IMPROVED RAYLEIGH METHOD) 的推导内容。

这一节的核心思想是：标准的瑞利法依赖于一个**一次性**的形状假设，其精度完全取决于这个假设的好坏。而改进的瑞利法是一个**迭代**过程，它利用上一步计算的结果来获得一个更好的振动形状，从而得到更精确的频率。

整个推导过程基于能量守恒原理：**最大势能 ($V_{max}$) = 最大动能 ($T_{max}$)**。不同方法的区别在于它们如何计算这两项能量。

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### 1. 基础：标准瑞利法 (Method R₀₀)

这是我们进行改进的出发点。

*   **第一步：初始形状假设**
    我们首先假设一个初始的振动形状，记为 $v^{(0)}(x,t)$。上标 `(0)` 代表这是第0次迭代，即我们的初始猜测。
    $$ v^{(0)}(x,t) = \psi^{(0)}(x) \, Z_{0}^{(0)} \, \sin(\omega t) \quad (8-33) $$
    其中：
    *   $\psi^{(0)}(x)$ 是初始的、无量纲的**形状函数**。
    *   $Z_{0}^{(0)}$ 是该形状的**振幅**。
    *   $\omega$ 是我们要求解的未知振动频率。

*   **第二步：计算能量**
    基于这个初始形状，我们计算最大势能和最大动能。
    *   **最大势能 ($V_{max}$)** 来自于结构弯曲产生的应变能，它在位移最大时达到峰值：
      $$ V_{\mathrm{max}}^{(0)} = \frac{1}{2} \int_{0}^{L} EI(x) \left( \frac{\partial^2 v^{(0)}}{\partial x^2} \right)^2_{\mathrm{max}} dx = \frac{(Z_{0}^{(0)})^2}{2} \int_{0}^{L} EI(x) \, (\psi''^{(0)})^2 \, dx \quad (8-34) $$
    *   **最大动能 ($T_{max}$)** 来自于质量块的运动，它在速度最大时达到峰值。速度为 $\dot{v}^{(0)} = \psi^{(0)}(x) \, Z_{0}^{(0)} \, \omega \cos(\omega t)$，最大速度为 $\omega Z_{0}^{(0)} \psi^{(0)}(x)$。
      $$ T_{\mathrm{max}}^{(0)} = \frac{1}{2} \int_{0}^{L} m(x) (\dot{v}^{(0)})^2_{\mathrm{max}} dx = \frac{(Z_{0}^{(0)})^2 \omega^2}{2} \int_{0}^{L} m(x) \, (\psi^{(0)})^2 \, dx \quad (8-35) $$

*   **第三步：求解频率**
    令 $V_{\mathrm{max}}^{(0)} = T_{\mathrm{max}}^{(0)}$，消去公共项 $\frac{(Z_{0}^{(0)})^2}{2}$，解出 $\omega^2$：
    $$ \omega^2 = \frac{\int_{0}^{L} EI(x) \, (\psi''^{(0)})^2 \, dx}{\int_{0}^{L} m(x) \, (\psi^{(0)})^2 \, dx} \quad (8-36) $$
    这就是**标准瑞利法 (Method R₀₀)** 的公式。它的主要缺点是需要计算 $\psi''^{(0)}$，如果初始形状 $\psi^{(0)}$ 只是一个粗略的近似，其二阶导数可能会有很大误差。

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### 2. 第一次改进 (Method R₀₁)

这次改进的核心是**用更物理的方式计算势能**。

*   **第一步：计算等效惯性力**
    振动是由惯性力引起的。基于我们初始假设的形状 $v^{(0)}$，在位移最大时，加速度也最大，其值为 $\ddot{v}^{(0)} = -\omega^2 v^{(0)}$。因此，产生的惯性力分布为：
    $$ p^{(0)}(x) = m(x) \cdot (\omega^2 v^{(0)}) = \omega^2 \, m(x) \, \psi^{(0)}(x) \, Z_{0}^{(0)} \quad (8-37) $$
    这个力 $p^{(0)}(x)$ 是一个与 $\omega^2$ 成正比的**静力荷载**，它代表了振动达到最大位移时惯性力的分布。

*   **第二步：计算新的变形形状**
    我们将这个惯性力荷载 $p^{(0)}(x)$ 施加到结构上，计算出它引起的**静力变形**，记为 $v^{(1)}(x)$。这个新的变形形状 $v^{(1)}$ 显然比我们最初随便猜的 $v^{(0)}$ 更接近真实的振动形状。
    由于 $p^{(0)}$ 正比于 $\omega^2$，那么它引起的变形 $v^{(1)}$ 也必然正比于 $\omega^2$。为了方便表示，我们将其写为：
    $$ v^{(1)} = \omega^2 \, \psi^{(1)} \, \overline{Z}_{0}^{(1)} \quad (8-38) $$
    这里的 $\psi^{(1)}$ 和 $\overline{Z}_{0}^{(1)}$ 是由荷载 $m(x)\psi^{(0)}Z_0^{(0)}$ 产生的变形形状和幅值。$\omega^2$ 只是一个我们还不知道的比例系数。

*   **第三步：用新方法计算势能**
    一个物体的应变能（势能）等于使它产生该变形的外力所做的功。因此，最大势能 $V_{max}$ 等于惯性力 $p^{(0)}$ 在变形 $v^{(1)}$ 上所做的功的一半：
    $$ V_{\mathrm{max}} = \frac{1}{2} \int_{0}^{L} p^{(0)}(x) \, v^{(1)}(x) \, dx $$
    代入 $p^{(0)}$ 和 $v^{(1)}$ 的表达式：
    $$ V_{\mathrm{max}} = \frac{1}{2} \int_{0}^{L} \left( \omega^2 m(x) \psi^{(0)} Z_{0}^{(0)} \right) \left( \omega^2 \psi^{(1)} \overline{Z}_{0}^{(1)} \right) dx $$
    $$ V_{\mathrm{max}} = \frac{Z_{0}^{(0)} \, \overline{Z}_{0}^{(1)}}{2} \, \omega^4 \int_{0}^{L} m(x) \, \psi^{(0)} \, \psi^{(1)} \, dx \quad (8-39) $$
    这是我们对最大势能的**改进表达式**。

*   **第四步：求解频率 (Method R₀₁)**
    现在，我们将这个**改进的势能** (Eq. 8-39) 与**原始的动能** (Eq. 8-35) 相等：
    $$ \frac{Z_{0}^{(0)} \, \overline{Z}_{0}^{(1)}}{2} \, \omega^4 \int_{0}^{L} m(x) \, \psi^{(0)} \, \psi^{(1)} \, dx = \frac{(Z_{0}^{(0)})^2 \omega^2}{2} \int_{0}^{L} m(x) \, (\psi^{(0)})^2 \, dx $$
    两边消去 $\omega^2$ 和其他公共项，整理后得到：
    $$ \omega^2 = \frac{Z_{0}^{(0)}}{\overline{Z}_{0}^{(1)}} \, \frac{\int_{0}^{L} m(x) \, (\psi^{(0)})^2 \, dx}{\int_{0}^{L} m(x) \, \psi^{(0)} \, \psi^{(1)} \, dx} \quad (8-40) $$
    这就是 **Method R₀₁** 的公式。它避免了对 $\psi^{(0)}$ 求二阶导数，通常比 R₀₀ 更精确。

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### 3. 第二次改进 (Method R₁₁)

这个方法更进一步：既然我们已经得到了一个更好的形状 $v^{(1)}$，为什么不用它来计算**动能**呢？

*   **第一步：使用改进的势能**
    我们继续使用 Method R₀₁ 中得到的改进势能表达式 (Eq. 8-39)。

*   **第二步：使用改进的形状计算动能**
    我们基于新的变形 $v^{(1)}$ 来计算最大动能。首先求速度：
    $$ v^{(1)}(x,t) = (\omega^2 \psi^{(1)} \overline{Z}_{0}^{(1)}) \sin(\omega t) $$
    $$ \dot{v}^{(1)}(x,t) = (\omega^2 \psi^{(1)} \overline{Z}_{0}^{(1)}) \omega \cos(\omega t) = \omega^3 \psi^{(1)} \overline{Z}_{0}^{(1)} \cos(\omega t) $$
    最大速度为 $\omega^3 \psi^{(1)} \overline{Z}_{0}^{(1)}$。
    因此，最大动能为：
    $$ T_{\mathrm{max}} = \frac{1}{2} \int_{0}^{L} m(x) (\dot{v}^{(1)})^2_{\mathrm{max}} dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{L} m(x) \left( \omega^3 \psi^{(1)} \overline{Z}_{0}^{(1)} \right)^2 dx $$
    $$ T_{\mathrm{max}} = \frac{(\overline{Z}_{0}^{(1)})^2}{2} \, \omega^6 \int_{0}^{L} m(x) \, (\psi^{(1)})^2 \, dx \quad (8-41) $$
    这是我们对最大动能的**改进表达式**。

*   **第三步：求解频率 (Method R₁₁)**
    现在，我们将**改进的势能** (Eq. 8-39) 与**改进的动能** (Eq. 8-41) 相等：
    $$ \frac{Z_{0}^{(0)} \, \overline{Z}_{0}^{(1)}}{2} \, \omega^4 \int_{0}^{L} m(x) \, \psi^{(0)} \, \psi^{(1)} \, dx = \frac{(\overline{Z}_{0}^{(1)})^2}{2} \, \omega^6 \int_{0}^{L} m(x) \, (\psi^{(1)})^2 \, dx $$
    两边消去 $\omega^4$ 和其他公共项，整理后得到：
    $$ \omega^2 = \frac{Z_{0}^{(0)}}{\overline{Z}_{0}^{(1)}} \, \frac{\int_{0}^{L} m(x) \, \psi^{(0)} \, \psi^{(1)} \, dx}{\int_{0}^{L} m(x) \, (\psi^{(1)})^2 \, dx} \quad (8-42) $$
    这就是 **Method R₁₁** 的公式。这个结果通常非常精确，因为它使用了更真实的形状 $\psi^{(1)}$ 来计算系统的两个核心属性（动能和势能）。

### 总结

| 方法 | 最大势能 ($V_{max}$) 基于 | 最大动能 ($T_{max}$) 基于 | 优点/特点 |
| :--- | :--- | :--- | :--- |
| **R₀₀** | 初始形状 $\psi^{(0)}$ 的曲率 | 初始形状 $\psi^{(0)}$ | 简单直接，但精度依赖于初始猜测 |
| **R₀₁** | 惯性力 $p^{(0)}$ 在新变形 $v^{(1)}$ 上做的功 | 初始形状 $\psi^{(0)}$ | 避免了求二阶导数，精度更高 |
| **R₁₁** | 惯性力 $p^{(0)}$ 在新变形 $v^{(1)}$ 上做的功 | 新形状 $\psi^{(1)}$ | 最精确，因为它在动能和势能计算中都使用了改进后的形状 |

这个迭代过程（从 $\psi^{(0)}$ 计算 $\psi^{(1)}$，再从 $\psi^{(1)}$ 计算 $\psi^{(2)}$...）如果持续下去，最终会收敛到结构的真实基频振型和精确频率。但在工程应用中，通常一次迭代（即 R₁₁）就足以获得非常高的精度。
[Timestamp: 2025/10/07 17:37:56]