From d1b850d76c7df757cb1f95f2baee0b50a487efa5 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: aGYZ <5722745+agyz@user.noreply.gitee.com> Date: Mon, 10 Feb 2025 08:49:10 +0800 Subject: [PATCH] vault backup: 2025-02-10 08:49:10 --- .obsidian/core-plugins.json | 3 +- .../计算多体系统动力学 (洪嘉振著, 洪嘉振, 1944-) (Z-Library).md | 54 +++++++++++-------- 2 files changed, 33 insertions(+), 24 deletions(-) diff --git a/.obsidian/core-plugins.json b/.obsidian/core-plugins.json index 436f43c..c89a841 100644 --- a/.obsidian/core-plugins.json +++ b/.obsidian/core-plugins.json @@ -26,5 +26,6 @@ "workspaces": false, "file-recovery": true, "publish": false, - "sync": false + "sync": false, + "webviewer": false } \ No newline at end of file diff --git a/力学书籍/计算多体系统动力学 (洪嘉振著, 洪嘉振, 1944-) (Z-Library)/auto/计算多体系统动力学 (洪嘉振著, 洪嘉振, 1944-) (Z-Library).md b/力学书籍/计算多体系统动力学 (洪嘉振著, 洪嘉振, 1944-) (Z-Library)/auto/计算多体系统动力学 (洪嘉振著, 洪嘉振, 1944-) (Z-Library).md index f23b9fb..936ce68 100644 --- a/力学书籍/计算多体系统动力学 (洪嘉振著, 洪嘉振, 1944-) (Z-Library)/auto/计算多体系统动力学 (洪嘉振著, 洪嘉振, 1944-) (Z-Library).md +++ b/力学书籍/计算多体系统动力学 (洪嘉振著, 洪嘉振, 1944-) (Z-Library)/auto/计算多体系统动力学 (洪嘉振著, 洪嘉振, 1944-) (Z-Library).md @@ -213,7 +213,7 @@ $\smash{\psi_{i j}^{k}}$ 变形体 $_i$ 中节点 $\pmb{k}$ 单元的第 $j$ 阶 4.2解非线性代数方程的牛顿－拉斐逊方法 86 4.3常微分方程组的数值解法· 89 -# 第二篇多刚体系统动力学拉格朗日数学模型及算法 +# 第二篇 多刚体系统动力学拉格朗日数学模型及算法 # 第 5章多体系统拓扑构型的数学描述 98 @@ -303,9 +303,9 @@ $\smash{\psi_{i j}^{k}}$ 变形体 $_i$ 中节点 $\pmb{k}$ 单元的第 $j$ 阶 # 0.1 计算多体系统动力学的任务[1.2] -工程中的对象是由大量零部件构成的系统。在对它们进行设计优化与性态分析时可以分为两大类。一类称为结构，它们的特征是在正常的工况下构件间没有相对运动，如房屋建筑、桥梁、航空航天器与各种车辆的壳体以及各种零部件的本身。人们关心的是这些结构在受到载荷时的强度、刚度与稳定。它是固体力学与结构力学研究的内容。另一类称为机构，其特征是系统在运行过程中这些部件间存在相对运动。如航空航天器、机车与汽车、操作机械臂、机器人等复杂机械系统。此外，在研究宇航员的空间运动，在车辆的事故中考虑乘员的运动以及运动员的动作分析时，人体也可认为是躯干与各肢体间存在相对运动的系统。上述复杂系统的力学模型为多个物体通过运动副连接的系统，称为多体系统，是本书研究的对象。 +工程中的对象是由大量零部件构成的系统。在对它们进行设计优化与性态分析时可以分为两大类。一类称为结构，它们的特征是在正常的工况下构件间没有相对运动，如房屋建筑、桥梁、航空航天器与各种车辆的壳体以及各种零部件的本身。人们关心的是这些结构在受到载荷时的强度、刚度与稳定。它是固体力学与结构力学研究的内容。另一类称为机构，其特征是系统在运行过程中这些部件间存在相对运动。如航空航天器、机车与汽车、操作机械臂、机器人等复杂机械系统。此外，在研究宇航员的空间运动，在车辆的事故中考虑乘员的运动以及运动员的动作分析时，人体也可认为是躯干与各肢体间存在相对运动的系统。**上述复杂系统的力学模型为多个物体通过运动副连接的系统，称为多体系统，是本书研究的对象。** -对于复杂机械系统人们关心的问题大致有三类。一是在不考虑系统运动起因的情况下研究各部件的位置与姿态及其它们变化速度与加速度的关系，称为系统的运动学分析。平面与空间机构的运动分析是这类问题的典型例子。由于系统各部件间通过运动副与驱动装置连接在一起，上述关系的数学模型为各部件的位置与姿态坐标的非线性代数方程，以及速度与加速度的线性代数方程。运动学分析归结为求解线性与非线性代数方程。二是当系统受到静载荷时，确定在运动副制约下的系统平衡位置以及运动副静反力，这类问题称为系统的静力学分析。如机车或汽车中安装有大量的弹簧阻尼器，在整车的设计中必须考虑系统在静止状态下车身的位置与姿态，为进一步讨论车辆的平稳性与操纵稳定性的研究打下基础。三是讨论载荷与系统运动的关系，即动力学问题。研究复杂机械系统在载荷作用下各部件的动力学响应是工程设计中的重要问题。已知外力求系统运动的问题归结为求非线性微分方程的积分，称为动力学正问题。已知系统的运动确定运动副的动反力的问题是系统各部件强度分析的基础，这类问题称为动力学的逆问题。可以这样说，现代的机械系统离不开控制技术，因此工程设计中经常遇到这样的问题，即系统的部分构件受控，当它们按某已知规律运动时，讨论在外载荷作用下系统其他构件如何运动。这类问题称为动力学正逆混合问题。 +对于复杂机械系统人们关心的问题大致有三类。一是在不考虑系统运动起因的情况下研究各部件的位置与姿态及其它们变化速度与加速度的关系，称为系统的运动学分析。平面与空间机构的运动分析是这类问题的典型例子。由于系统各部件间通过运动副与驱动装置连接在一起，上述关系的数学模型为各部件的位置与姿态坐标的非线性代数方程，以及速度与加速度的线性代数方程。运动学分析归结为求解线性与非线性代数方程。二是当系统受到静载荷时，确定在运动副制约下的系统平衡位置以及运动副静反力，这类问题称为系统的静力学分析。如机车或汽车中安装有大量的弹簧阻尼器，在整车的设计中必须考虑系统在静止状态下车身的位置与姿态，为进一步讨论车辆的平稳性与操纵稳定性的研究打下基础。三是**讨论载荷与系统运动的关系，即动力学问题。研究复杂机械系统在载荷作用下各部件的动力学响应是工程设计中的重要问题。已知外力求系统运动的问题归结为求非线性微分方程的积分，称为动力学正问题**。已知系统的运动确定运动副的动反力的问题是系统各部件强度分析的基础，这类问题称为动力学的逆问题。可以这样说，现代的机械系统离不开控制技术，因此工程设计中经常遇到这样的问题，即系统的部分构件受控，当它们按某已知规律运动时，讨论在外载荷作用下系统其他构件如何运动。这类问题称为动力学正逆混合问题。 随着国民经济与国防技术的需要，机械系统的构型越来越复杂，表现为这些系统在构型上向多回路与带控制系统方向发展。如航天器正由单个主体加若干鞭状天线的卫星走向由庞大的多个部件在轨拼装或展开的空间站。这些系统或携带有巨型的操作机械臂，或者装有大面积的作步进运动的太阳电池阵与天线阵。高速车辆对操纵系统与悬架系统的构型提出更高的要求，有的已采用自动控制环节。机器人与操作机械臂在工业与生活中将普遍采用，要求高速与准确的操作以及能在恶劣环境下工作,这些对系统构型也提出新的要求。不仅如此，机械系统的大型化与高速运行的工况使机械系统的动力学性态变得愈来愈复杂。如大型的高速机械系统各部件的大范围运动与构件本身振动的耦合，振动非线性性态的表现,冲击、粘－滑、锤击等现象的出现。这些动力学性态有些是有利的,有些则必须加以控制与消除。因此,复杂机械系统的运动学、动力学与静力学的性态分析、设计与优化已向力学工作者提出了新的挑战。 @@ -314,14 +314,17 @@ $\smash{\psi_{i j}^{k}}$ 变形体 $_i$ 中节点 $\pmb{k}$ 单元的第 $j$ 阶 ![](images/f9493ca3cb631081aefde9e8f8030ba04321c49961cf2220ac37f983edd05b79.jpg) 图0-1 虚拟设计 -回顾目前在工程技术领域中尚在采用的系统分析的传统方法。在系统的运动学分析中，工程技术人员习惯用作图法或缩比模型进行研究分析。由于系统的构型复杂与各部件的运动幅度可能很大，作图法已很难胜任三维的非线性关系的分析，缩比模型制作的投人不适用于虚拟设计的过程。在动力学分析中，习惯的方法是用拉格朗日第二类方程或牛顿－欧拉方程导出位置与姿态坐标的运动微分方程。对于较为简单的、只有几个自由度的系统,通过巧妙选择广义坐标,利用手工推导可以得到较为简单的微分方程组。然而,对于愈来愈复杂的构型与多自由度的系统,用手工符号推导动力学方程将面临相当繁重的代数和微分运算,并且非常容易出错。为此,在实际工程中不得不将系统作许多强制性的简化,降低自由度。但这样做,很难揭示复杂的动力学性态,也得不到精确的分析结果。此外,当数学模型建立后,面临求解代数方程与微分方程的问题。由于方程的严重的非线性,除个别非常简单的情况外,求得解析解是不可能的。随着数字计算机的出现，可以使用计算机和采用实用的数值方法求解这些方程，但事先需要选择有效的数值积分方法并用高级语言编写程序。这些准备工作要求工程技术人员比较熟练掌握这方面的技能。应该指出，这种传统建模和求解方法严重依赖于系统的构型,即系统构型的设计稍作变化,自由度一有改变,建立方程这种繁复而又易出错的工作又得重新做起,相应的数值积分的编制工作又得重新准备。例如在机车车辆直道运行稳定性的研究中,不同构型的车辆转向架，自由度不同,数学模型就不同,需准备不同的计算机程序。因此,上述的传统方法很难应付虚拟设计中的系统构型综合与优化。 +回顾目前在工程技术领域中尚在采用的系统分析的传统方法。在系统的运动学分析中，工程技术人员习惯用作图法或缩比模型进行研究分析。由于系统的构型复杂与各部件的运动幅度可能很大，作图法已很难胜任三维的非线性关系的分析，缩比模型制作的投人不适用于虚拟设计的过程。**在动力学分析中，习惯的方法是用拉格朗日第二类方程或牛顿－欧拉方程导出位置与姿态坐标的运动微分方程**。对于较为简单的、只有几个自由度的系统,通过巧妙选择广义坐标,利用手工推导可以得到较为简单的微分方程组。然而,对于愈来愈复杂的构型与多自由度的系统,用手工符号推导动力学方程将面临相当繁重的代数和微分运算,并且非常容易出错。为此,在实际工程中不得不将系统作许多强制性的简化,降低自由度。但这样做,很难揭示复杂的动力学性态,也得不到精确的分析结果。此外,当数学模型建立后,面临求解代数方程与微分方程的问题。由于方程的严重的非线性,除个别非常简单的情况外,求得解析解是不可能的。随着数字计算机的出现，可以使用计算机和采用实用的数值方法求解这些方程，但事先需要选择有效的数值积分方法并用高级语言编写程序。这些准备工作要求工程技术人员比较熟练掌握这方面的技能。应该指出，这种传统建模和求解方法严重依赖于系统的构型,即系统构型的设计稍作变化,自由度一有改变,建立方程这种繁复而又易出错的工作又得重新做起,相应的数值积分的编制工作又得重新准备。例如在机车车辆直道运行稳定性的研究中,不同构型的车辆转向架，自由度不同,数学模型就不同,需准备不同的计算机程序。因此,上述的传统方法很难应付虚拟设计中的系统构型综合与优化。 -现代工程从设计、管理、制造到仓储的每一个环节都已广泛应用计算机。设计和制造过程从设想开始,以最后的产品结束是一个闭环过程,在这个过程中每一个环节都能借助计算机得到实惠。这不仅是为了减轻体力和脑力劳动,提高生产率,更重要的是通过可靠的设计减少投资风险,得到优质的产品。图0－2为现代计算机辅助工程(CAE)的示意图,其中有一个很重要的环节是计算机辅助设计(CAD),而在 CAD 中则必须有功能相当完备的计算机辅助分析(CAA)环节，以实现结构有限元分析、机构的静力学、运动学、动力学和控制系统分析等等。CAA与计算机辅助优化(CAO)一起实现上述的虚拟设计。由于结构动力学有限元、边界元等理论的发展使得结构分析方法实现了程式化,开发了功能相当完备的大型计算机软件,如 SAP 系列、NASTRAN、ANSYS 等。这些软件有相当好的用户界面,工程技术人员只要按照软件提出的操作方法,输入结构模型的数据，数学模型的建立与数值分析过程均由计算机自动完成,并将分析结果以数据文件、图表等直观的形式提供给用户。这样,工程技术人员可将主要精力用在对结果的分析与提出改进的对策上,从而大大提高了结构分析的效率与精度。这对系统机构的运动学、动力学分析和控制系统分析的研究方法提供一种启示：应该采用类似的程式化的方法，利用计算机来解决复杂系统的运动学与动力学的自动建模与数值分析。这种思想促进了多体系统动力学的发展。考虑到该领域与计算方法、软件工程紧密相连，豪格”1984年首先提出将这个领域称为计算多体系统动力学，其任务为： +现代工程从设计、管理、制造到仓储的每一个环节都已广泛应用计算机。设计和制造过程从设想开始,以最后的产品结束是一个闭环过程,在这个过程中每一个环节都能借助计算机得到实惠。这不仅是为了减轻体力和脑力劳动,提高生产率,更重要的是通过可靠的设计减少投资风险,得到优质的产品。图0－2为现代计算机辅助工程(CAE)的示意图,其中有一个很重要的环节是计算机辅助设计(CAD),而在 CAD 中则必须有功能相当完备的计算机辅助分析(CAA)环节，以实现结构有限元分析、机构的静力学、运动学、动力学和控制系统分析等等。CAA与计算机辅助优化(CAO)一起实现上述的虚拟设计。由于结构动力学有限元、边界元等理论的发展使得结构分析方法实现了程式化,开发了功能相当完备的大型计算机软件,如 SAP 系列、NASTRAN、ANSYS 等。这些软件有相当好的用户界面,工程技术人员只要按照软件提出的操作方法,输入结构模型的数据，数学模型的建立与数值分析过程均由计算机自动完成,并将分析结果以数据文件、图表等直观的形式提供给用户。这样,工程技术人员可将主要精力用在对结果的分析与提出改进的对策上,从而大大提高了结构分析的效率与精度。这对系统机构的运动学、动力学分析和控制系统分析的研究方法提供一种启示：应该采用类似的程式化的方法，利用计算机来解决复杂系统的运动学与动力学的自动建模与数值分析。这种思想促进了多体系统动力学的发展。考虑到该领域与计算方法、软件工程紧密相连，豪格[3]1984年首先提出将这个领域称为计算多体系统动力学，其任务为： ![](images/e5975d458e203ef3fb2bcacb64753fa5cf84c74dd19604b854e6a24c5f5e5115.jpg) 图0一2计算多体系统动力学在计算机辅助工程中的地位 -1．建立复杂机械系统运动学和动力学程式化的数学模型,开发实现这个数学模型的软件系统，用户只需输人描述系统的最基本数据，借助计算机就能自动进行程式化处理。2.开发和实现有效的处理数学模型的计算方法与数值积分方法，自动得到运动学规律和动力学响应。3.实现有效的数据后处理,采用动画显示、图表或其他方式提供数据处理结果。综上所述，计算多体系统动力学是一门涉及多体系统动力学、计算方法与软件工程的交叉学科,是一般力学面向工程实践的新学科,其根本点是最大限度地开发计算机在对复杂系统运动学、动力学和控制系统的分析与综合的能力。 +1．建立复杂机械系统运动学和动力学程式化的数学模型,开发实现这个数学模型的软件系统，用户只需输人描述系统的最基本数据，借助计算机就能自动进行程式化处理。 +2.开发和实现有效的处理数学模型的计算方法与数值积分方法，自动得到运动学规律和动力学响应。 +3.实现有效的数据后处理,采用动画显示、图表或其他方式提供数据处理结果。 +综上所述，计算多体系统动力学是一门涉及多体系统动力学、计算方法与软件工程的交叉学科,是一般力学面向工程实践的新学科,其根本点是最大限度地开发计算机在对复杂系统运动学、动力学和控制系统的分析与综合的能力。 # 0.2机械系统的多体系统力学模型 @@ -329,24 +332,24 @@ $\smash{\psi_{i j}^{k}}$ 变形体 $_i$ 中节点 $\pmb{k}$ 单元的第 $j$ 阶 在对复杂机械系统进行运动学与动力学分析前需建立它的多体系统力学模型。这种抽象的实质是对系统的如下4个要素进行定义： -1．物体。多体系统中的构件定义为物体。 +1．物体。**多体系统中的构件定义为物体**。 -首先需要指出的是，多体系统力学模型中物体的定义并不一定与具体工程对象的零部件一一对应。它的定义与研究的目的相关。在运动学分析中，通常将对其运动性态特别关心的零部件定义为物体。如图0一3所示的曲柄滑块机构，尽管它由曲柄、连杆、滑块与机座四个零部件组成，但如果关心的是曲柄与滑块运动的关系，那么可定义一个由三个物体的多体系统作为该实际系统的力学模型。它们分别为曲柄、滑块与机座。在动力学分析中,物体的惯量特性是影响系统的重要参数,对于那些惯量比较小，且可忽略不计的零部件，可不作物体定义。对于图0－3 所示的系统,如果滑块的质量比较小的话,可以定义含曲柄、连杆与机座的多体系统模型。对于静止不动的零部件，如上述的机座，通常可定义为系统运动的参考系，即也不必一定让其作为多体系统中的一个物体定义。 +**首先需要指出的是，多体系统力学模型中物体的定义并不一定与具体工程对象的零部件一一对应。它的定义与研究的目的相关。在运动学分析中，通常将对其运动性态特别关心的零部件定义为物体**。如图0一3所示的曲柄滑块机构，尽管它由曲柄、连杆、滑块与机座四个零部件组成，但如果关心的是曲柄与滑块运动的关系，那么可定义一个由三个物体的多体系统作为该实际系统的力学模型。它们分别为曲柄、滑块与机座。在动力学分析中,物体的惯量特性是影响系统的重要参数,对于那些惯量比较小，且可忽略不计的零部件，可不作物体定义。对于图0－3 所示的系统,如果滑块的质量比较小的话,可以定义含曲柄、连杆与机座的多体系统模型。对于静止不动的零部件，如上述的机座，通常可定义为系统运动的参考系，即也不必一定让其作为多体系统中的一个物体定义。 ![](images/74b480d47d6d59ebb311d62758a7591c8ec6718d9b87a730b73ca5ec40f6ec35.jpg) 图0－3曲柄滑块机构 其次是物体性质的假定。对于低速运动的实际工程对象,其零部件的弹性变形并不影响其大范围的运动性态。在这种情况下，系统中的物体可作刚体假定。这样的多体系统称为多刚体系统。由于大型、轻质机械系统的出现，高速运行的工况将使系统动力学性态愈来愈复杂,这些现象是由于零部件的大范围运动与构件的弹性变形耦合引起的。在分析这类系统动力学时,物体必须作柔性体假定。这类力学模型称为柔性多体系统。如果上述系统中部分物体仍可作刚体假定,那么构成的力学模型为刚－柔混合多体系统,它是多体系统中最一般的模型。 -2.铰。在多体系统中将物体间的运动约束定义为铰。 +2.铰。在多体系统中将**物体间的运动约束定义为铰**。 实际工程对象中机构的运动副是铰的物理背景,然而铰的定义具有更广泛的意义。如在上面定义的曲柄滑块的三体运动学模型中,虽然连杆不作为物体，但它限制了曲柄与滑块间的运动,即在运动过程中,点 $\pmb{A}$ 与点B间的距离始终保持不变(图0-3)。同样,对于上述的三体动力学模型中,虽然滑块不作为物体,但它限制了连杆与机座间的运动,即在运动过程中,点B始终在过点O 的水平线内运动(图0－3)。上述两种约束的力学抽象即为铰。显然,在实际工程对象的多体系统力学模型中，物体与铰的定义是相关的。 -3.外力(偶)。多体系统外的物体对系统中物体的作用定义为外力(偶)。 +3.外力(偶)。**多体系统外的物体对系统中物体的作用定义为外力(偶)**。 重力是系统典型的外力。在外力的定义中需要注意的是对于刚体,力偶的作用与作用点无关。然而，对于柔性体，力偶的作用与作用点有关。因为它不仅对其大范围运动而且对其的弹性变形均有影响。此外,如果在实际的工程对象中外力作用的零部件没有作物体的定义,那么在多体系统的力学模型中应定义外力作用在等效的点上。如图0－3所示机构,外力 $\pmb{F}$ 作用在滑块上，而机构的三体动力学模型中，滑块不作物体定义，那么在这个力学模型中外力的作用点应加在点B上。 -4．力元。在多体系统中物体间的相互作用定义为力元。 +4．力元。在**多体系统中物体间的相互作用定义为力元**。 在实际的工程对象中，零部件间的相互联系一种是通过运动副，另一种通过力的相互作用。两者的本质差异为前者限制了相连物体的相对运动的自由度，后者却没有这种限制。通常，在实际的工程对象中，力元的作用也是通过器件实现的。如两物体间的线弹簧阻尼器（例如图0－4中 $O_{5}$ 与 $O_{6}$ 之间为一-线弹簧）或油压作动筒，如果不计它们的质量，那么它们在多体系统中的力学模型为力元。如图0-4所示的油压作动筒一个安装在物体 $B_{1}$ 的 $O_{\mathfrak{v}}$ 与 $B_{2}$ 的 $O_{2}$ 间，另一个安装在 $B_{z}$ 的 $O_{3}$ 与 $B_{3}$ 的 $O_{4}$ 之间。它们的存在不影响邻接物体 $B_{1}$ 与$B_{2}\,,B_{2}$ 与 $B_{3}$ 的相对运动自由度,故可作力元处理。如果将作动筒也作物体处理，那么图示系统中的每一个作动筒增加两个物体（作动筒的筒体与轴）与三个铰(两个转动铰和一个筒体与轴间的滑移铰)。由此可见，适当的引人力元对于减小多体动力学模型的规模是有利的。 @@ -359,39 +362,39 @@ $\smash{\psi_{i j}^{k}}$ 变形体 $_i$ 中节点 $\pmb{k}$ 单元的第 $j$ 阶 的最简模型为优。因为性态分析的求解规模不仅取决于力学模型的物体与铰的个数，还与它们相互连接的拓扑构型有关。拓扑构型的描述是下面一节将要介绍的内容。 -# 0,2.2 多体系统拓扑构型的描述[41 +# 0,2.2 多体系统拓扑构型的描述[4] # 0.2.2.1 铰与邻接物体 -如上节所述，系统中连接两物体且限制它们相对运动自由度的物理抽象称作铰，铰连接的一对物体称为该铰的邻接物体。从运动学观点出发,不计铰的质量，将铰理解为邻接物体的一种运动学约束，这种约束可能是完整的，也可能是非完整的。机械学中所提到的运动副如柱铰，万向节等都是完整约束。火车轮轨之间,轮胎与地面之间的联系就是典型的非完整约束。有时为便于分析也可在两个完全没有约束的物体间理解为存在一个自由度为6的抽象的铰，称为 +如上节所述，**系统中连接两物体且限制它们相对运动自由度的物理抽象称作铰，铰连接的一对物体称为该铰的邻接物体**。从运动学观点出发,不计铰的质量，将铰理解为邻接物体的一种运动学约束，这种约束可能是完整的，也可能是非完整的。机械学中所提到的运动副如柱铰，万向节等都是完整约束。火车轮轨之间,轮胎与地面之间的联系就是典型的非完整约束。有时为便于分析也可在两个完全没有约束的物体间理解为存在一个自由度为6的抽象的铰，称为 虚铰。 实际铰都有一定的形状和尺度，通常可用一个几何点表示铰的位置，称为铰点。如球铰、万向节的中心，圆柱铰转轴的中点可作为铰点。对于滑移铰（见图0－3)，一个铰点可选在滑槽的某一点〇上,另一个铰点在滑块B上。这两个铰点的相对运动描述了两物体的相对滑动. -多体系统各物体的联系方式称为系统的拓扑构型，简称拓扑。任意一个多体系统的拓扑构型可用图0－5的方式表达。每个物体记作 $B_{i}\left(\,i=1,\cdots,N\,\right),N$ 为系统中物体的个数。铰用一条连接邻接物体的有向线段表示，记作 $H_{\!j}\left(\,j=1\,,2,3\,,\cdots\right)$ 。下标 $i$ 与 $\r_{j}$ 分别表示物体与铰的序号。 $B_{0}$ 表示系统外运动为已知的物体。将铰定义为有向的目的有两个，一是在两个邻接物体中定义其中一个为参考物，以描述另一个物体的相对运动，二是定义邻接物体间作用与反作用力的正方向。 +**多体系统各物体的联系方式称为系统的拓扑构型，简称拓扑**。任意一个多体系统的拓扑构型可用图0－5的方式表达。每个物体记作 $B_{i}\left(\,i=1,\cdots,N\,\right),N$ 为系统中物体的个数。铰用一条连接邻接物体的有向线段表示，记作 $H_{\!j}\left(\,j=1\,,2,3\,,\cdots\right)$ 。下标 $i$ 与 $j$ 分别表示物体与铰的序号。 $B_{0}$ 表示系统外运动为已知的物体。将铰定义为有向的目的有两个，一是在两个邻接物体中定义其中一个为参考物，以描述另一个物体的相对运动，二是定义邻接物体间作用与反作用力的正方向。 ![](images/bf64d75b543472ae7c11489848aa8045305b3d4b1728aeff042adf426c230bff.jpg) 图0-5某多体系统的拓扑构型 -铰与邻接物体的关系称为关联。如图0－5中铰 $H_{4}$ 与物体 $B_{3}$ 和 $B_{4}$ 相关联。如果由物体 $B_{i}$ 沿一系列物体和铰到达物体 $B_{j}$ ,其中没有一个铰被重复通过,则这组铰(或物体)构成物体 $B$ 至 $B_{j}$ 的路，记为 $(B_{i}\,,B_{j}\,)$ 。物体 $B_{i}$ 至 $B_{0}$ 的路通常简称为物体 $B_{i}$ 的路，记为 $(B_{i})$ 。例如铰 $H_{4}$ 在 $B_{1}$ 至 $B_{5}$ 的路上，也在$B_{5}$ 至 $B_{0}$ 的路上，故可表达为 $H_{4}\in(B_{1},B_{5})$ 与 $H_{4}\in(B_{5})$ 。 +铰与邻接物体的关系称为关联。如图0－5中铰 $H_{4}$ 与物体 $B_{3}$ 和 $B_{4}$ 相关联。**如果由物体 $B_{i}$ 沿一系列物体和铰到达物体 $B_{j}$ ,其中没有一个铰被重复通过,则这组铰(或物体)构成物体 $B$ 至 $B_{j}$ 的路，记为 $(B_{i}\,,B_{j}\,)$** 。**物体 $B_{i}$ 至 $B_{0}$ 的路通常简称为物体 $B_{i}$ 的路，记为 $(B_{i})$ 。例如铰 $H_{4}$ 在 $B_{1}$ 至 $B_{5}$ 的路上，也在$B_{5}$ 至 $B_{0}$ 的路上，故可表达为 $H_{4}\in(B_{1},B_{5})$ 与 $H_{4}\in(B_{5})$ 。** # 0.2.2.2 系统的分类 -工程中大多数对象的多体系统力学模型与系统外运动规律为已知的物体有铰联系，称该系统为有根系统。与系统外运动规律为已知的物体无任何铰联系的系统称为无根系统。例如各种航天器等。如果将描述无根系统运动的参考系记为 $B_{0}$ ，通过～个虚铰与无根系统中某物体相关联，则无根系统与有根系统在拓扑结构上取得一致。对于运动学分析，这两类系统可以不予区分。 +工程中大多数对象的多体系统力学模型与系统外运动规律为已知的物体有铰联系，称该系统为有根系统。与系统外运动规律为已知的物体无任何铰联系的系统称为无根系统。例如各种航天器等。如果将描述无根系统运动的参考系记为 $B_{0}$ ，通过一个虚铰与无根系统中某物体相关联，则无根系统与有根系统在拓扑结构上取得一致。对于运动学分析，这两类系统可以不予区分。 -任意两个物体之间路为唯-的多体系统称为树系统（如图0－5所示的系统）。反之称为带回路的系统,或者非树系统。非树系统可以人为地切断回路中某些约束使原系统变为一个树系统，称此树系统为原非树系统的派生树系统。图0－6为由五个物体,7个铰构成的多体系统。切断两个铰 $H_{7}$ 与 $H_{6}$ (虚线表示），构成该系统的一个派生树系统。 +**任意两个物体之间路为唯-的多体系统称为树系统（如图0－5所示的系统）。反之称为带回路的系统,或者非树系统。非树系统可以人为地切断回路中某些约束使原系统变为一个树系统，称此树系统为原非树系统的派生树系统**。图0－6为由五个物体,7个铰构成的多体系统。切断两个铰 $H_{7}$ 与 $H_{6}$ (虚线表示），构成该系统的一个派生树系统。 -对于树系统,若 $B_{j}$ 在 $B_{i}$ 至 $B_{0}$ 的路上,称 $B_{j}$ 为 $B_{i}$ 的内侧物体，或者称 $B_{i}$ 为 $B_{j}$ 的外侧物体，记为 $B_{j}\!<\!B_{i}$ 或 $B_{i}>B_{j}$ 。可能出现 $B_{j}$ 既非 $B_{i}$ 的内侧物体，也非 $B_{i}$ 的外侧物体的情形,即 $B_{i}$ 与 $B_{j}$ 不在一条通路上,记作 $B_{j}\!<\!>\!B_{i}$ 。在物体 +对于树系统,若 $B_{j}$ 在 $B_{i}$ 至 $B_{0}$ 的**路上**,称 $B_{j}$ 为 $B_{i}$ 的内侧物体，或者称 $B_{i}$ 为 $B_{j}$ 的外侧物体，记为 $B_{j}\!<\!B_{i}$ 或 $B_{i}>B_{j}$ 。可能出现 $B_{j}$ 既非 $B_{i}$ 的内侧物体，也非 $B_{i}$ 的外侧物体的情形,即 $B_{i}$ 与 $B_{j}$ 不在一条通路上,记作 $B_{j}\!<\space \!>B_{i}$ 。在物体 -$B_{i}$ 的内(外)侧,又与 $B_{i}$ 邻接的物体称为 $B_{i}$ 的内(外)接物体。 例如图 0－5所示系统中，$B_{1}$ 与 $B_{3}$ 为 $\boldsymbol{B_{4}}$ 的内侧物体,其中 $B_{3}$ 为 $B_{4}$ 的内接物体,记为 $B_{1}B_{4}$ 。 +$B_{i}$ 的内(外)侧,又与 $B_{i}$ **邻接**的物体称为 $B_{i}$ 的**内(外)接物体**。 例如图 0－5所示系统中，$B_{1}$ 与 $B_{3}$ 为 $\boldsymbol{B_{4}}$ 的内侧物体,其中 $B_{3}$ 为 $B_{4}$ 的内接物体,记为 $B_{1}B_{4}$ 。 对于树系统，任意物体 $B_{i}$ 至 $B_{0}$ 的路$(B_{i})$ 有特殊的意义。与物体 $B_{i}$ 相关联，又在 ![](images/445ab1a78350f7eede2df62cde1d270d59dd68a717936e132b1cde6895c3b3d2.jpg) 图0-6某非树系统的拓扑构型 -$B_{i}$ 至 $B_{0}$ 路上的铰称为 $B_{i}$ 的内接铰。显然，树系统的每一个物体只有一个内接铰。通常,系统中每个物体除了内接铰外还存在其他铰,这些铰统称为该物体的外接铰。例如图0-5所示系统中， $H_{3}$ 为物体 $B_{3}$ 的内接铰， $H_{4}$ 与 $H_{6}$ 为该物体的外接铰。 +$B_{i}$ 至 $B_{0}$ 路上的铰称为 $B_{i}$ 的**内接铰**。显然，树系统的每一个物体只有一个内接铰。通常,系统中每个物体除了内接铰外还存在其他铰,这些铰统称为该物体的外接铰。例如图0-5所示系统中， $H_{3}$ 为物体 $B_{3}$ 的内接铰， $H_{4}$ 与 $H_{6}$ 为该物体的**外接铰**。 # 0.2.2.3 规则标号方法 @@ -402,9 +405,11 @@ $B_{i}$ 至 $B_{0}$ 路上的铰称为 $B_{i}$ 的内接铰。显然，树系统 ![](images/77a28a7ad6d5c499ac3542049fa6ec10499492fe3510d24cedbf83b9bb91b556.jpg) 图0-7树系统拓扑构型图的等效 -(1) 与 $B_{0}$ 邻接物体记为 $B_{1}$ ，关联的铰为 $H_{1}$ （2）每个物体与其内接铰的序号相同；（3）每个物体的序号大于其内接物体的序号； + (1) 与 $B_{0}$ 邻接物体记为 $B_{1}$ ，关联的铰为 $H_{1}$ +（2）每个物体与其内接铰的序号相同； +（3）每个物体的序号大于其内接物体的序号； -（4）每个铰的指向一律背离 $\scriptstyle B_{0}$ 方向。 +（4）每个铰的指向一律背离 $B_{0}$ 方向。 通常，可以从 $B_{1}$ 开始用递增数列一个分支一个分支进行标号，直至所有物体都有标号为止。图0－5所示系统的标号为规则标号。 @@ -414,9 +419,12 @@ $B_{i}$ 至 $B_{0}$ 路上的铰称为 $B_{i}$ 的内接铰。显然，树系统 自20世纪60年代以来，国内外在多体系统动力学方面有影响的活动如下所列：国际上，自1977年国际理论和应用力学学会（IUTAM)在德国慕尼黑召开第一次多刚体系统动力学讨论会后'"，1983年北大西洋公约组织与美国国家科学基金委等（NATO-NSF－ARD）联合主持在美国爱阿华召开“机械系统动力学计算机分析与优化讲习会"3;1985年IUTAM与国际机器及机构理论联合会（IFTOMM)联合在意大利Udine又举行了一次国际多体系统动力学讨论会。这次会议总结了该领域的进展；1989年由德国斯图加特大学主持对当时比较先进的大型软件进行测试,编辑出版了“多体系统手册"”;以后几乎每年都有国际的多体系统动力学的会议，并出现了多体系统动力学的专门的刊物。在国内由中国力学学会一般力学专业委员会主持1986年在北京召开“多刚体系统动力学”研讨会，1988年在长春召开“柔性多体系统动力学研讨会”，1992年在上海召开“全国多体系统动力学一——理论、计算方法与应用学术会议"8,1996年由中国力学学会一般力学专业委员会与中国空间学会空间机械委员会联合在山东长岛召开“全国多体系统动力学与控制学术会议"”。国内出版了多种有关多体系统动力学方面的教材和著作[10-13]。许多学者在建模理论[14-31]、计算方法[32-37]等方面发表了高质量的论文,并且在多体系统碰撞动力学[38-41] 与变拓扑的多体系统动力学{42-43]方面作了大量工作。 -对于多刚体系统，自20世纪60年代以来，从各自研究对象的特征出发，航天与机械两大工程领域分别提出不同的建模策略，主要区别是对刚体位形的描述。 +对于多刚体系统，自20世纪60年代以来，从各自研究对象的特征出发，**航天与机械两大工程领域分别提出不同的建模策略，主要区别是对刚体位形的描述。** 航天领域以系统每个铰的一对邻接刚体为单元，以一个刚体为参考物，另一个刚体相对该刚体的位形由铰的广义坐标(又称拉格朗日坐标)来描述。这样树系统的位形完全可由所有铰的拉格朗日坐标阵 $\underline{{\pmb q}}$ 所确定。其动力学方程的形式为拉格朗日坐标阵的二阶微分方程组，即 +$$ +\underline{{A}}\,\ddot{\underline{{q}}} = \underline{{B}} +$$ 这种形式首先在解决拓扑为树的航天器问题时推出。其优点是方程个数最少，但方程呈严重非线性，矩阵 $\underline{{\boldsymbol{A}}}$ 与B的形式相当复杂。为使方程具有程式化与通用性，在矩阵 $\pmb{A}$ 与 $\underline{{B}}$ 中包含描述系统拓扑的信息。