Merge remote-tracking branch 'origin/master'

This commit is contained in:
yz 2025-02-14 16:53:23 +08:00
commit bd898fc3ec

View File

@ -640,13 +640,13 @@ $$
# 1.1.2 矩阵的线性相关性、秩
对于 $_{n}$ 个列阵 $\underline{{a}}_{j}(j=1,\cdots,n\,)$ ,如果存在 $^{n}$ 个不同时为零的常数 $\pmb{\alpha}_{j}\left(j=1\right.$ $\cdots,n\,)$ ,使得下式成立,则称这 $\pmb{n}$ 个列阵线性相关:
对于 ${n}$ 个列阵 $\underline{{a}}_{j}(j=1,\cdots,n\,)$ ,如果存在 ${n}$ 个不同时为零的常数 $\pmb{\alpha}_{j}\left(j=1\right.$ $\cdots,n\,)$ ,使得下式成立,则称这 $\pmb{n}$ 个列阵线性相关:
$$
\sum_{j\mathop{=}1}^{n}\ \alpha_{j}\underline{{a}}_{j}=\underline{{0}}
$$
否则,当且仅当 $\alpha_{j}=0(\,j=1\,,\cdots,n\,)$ 时,上式才成立,则称这 $^{\pmb{n}}$ 个列阵线性无关。将上述定义加以推广,考虑 $m\times n$ 阶矩阵 $\underline{{\boldsymbol{A}}}$ ,将其表示为式(1.19),如果存在一常值列阵 $\underline{{\alpha}}=(\mathbf{\Delta}_{\alpha_{1}}\quad\alpha_{2}\quad\cdots\quad\alpha_{n}\mathbf{\alpha})^{\mathrm{T}}\not=\underline{{\mathbf{0}}}$ ,使得下式成立,则称矩阵 $\underline{{\boldsymbol{A}}}$ 的各列阵线性相关:
否则,当且仅当 $\alpha_{j}=0(\,j=1\,,\cdots,n\,)$ 时,上式才成立,则称这 ${{n}}$ 个列阵线性无关。将上述定义加以推广,考虑 $m\times n$ 阶矩阵 $\underline{{\boldsymbol{A}}}$ ,将其表示为式(1.19),如果存在一常值列阵 $\underline{{\alpha}}=(\mathbf{\Delta}_{\alpha_{1}}\quad\alpha_{2}\quad\cdots\quad\alpha_{n}\mathbf{\alpha})^{\mathrm{T}}\not=\underline{{\mathbf{0}}}$ ,使得下式成立,则称矩阵 $\underline{{\boldsymbol{A}}}$ 的各列阵线性相关:
$$
\underline{{{A}}}\,\underline{{{\alpha}}}=\sum_{j\,=\,1}^{n}\,\alpha_{j}\underline{{{\alpha}}}_{j}=\underline{{{0}}}
@ -654,7 +654,7 @@ $$
否则,当且仅当 $\underline{{\boldsymbol{a}}}=\underline{{\boldsymbol{0}}}$ 时,上式才成立,则称矩阵 $\underline{{A}}$ 的各列阵线性无关。
同样,如果对于 $m\times n$ 阶矩阵 $\underline{{\boldsymbol{A}}}$ ,将其表示为式(1.110),如果存在一常值列阵 $\underline{{\beta}}=(\beta_{1}\quad\beta_{2}\quad\cdots\quad\beta_{m}\,\,)^{\mathrm{\scriptscriptstyleT}}\not=\underline{{0}}$ ,使得下式成立,则称矩阵 $\underline{{\boldsymbol{A}}}$ 的各行阵线性相关:
同样,如果对于 $m\times n$ 阶矩阵 $\underline{{\boldsymbol{A}}}$ ,将其表示为式(1.110),如果存在一常值列阵 $\underline{{\beta}}=(\beta_{1}\quad\beta_{2}\quad\cdots\quad\beta_{m}\,\,)^{T}\not=\underline{{0}}$ ,使得下式成立,则称矩阵 $\underline{{\boldsymbol{A}}}$ 的各行阵线性相关:
$$
\underline{{\mathbf{A}}}^{\,\mathrm{T}}\,\underline{{\boldsymbol{\beta}}}\,{=}\,\underline{{\mathbf{0}}}
@ -696,7 +696,7 @@ $$
首先讨论矩阵对时间的导数。
元素为时间 $\pmb{t}$ 的函数之矩阵记为 $\underline{{A}}\left(\mathbf{\boldsymbol{\mathit{t}}}\right)=\left(\mathbf{\boldsymbol{\mathit{a}}}_{i j}\left(\mathbf{\boldsymbol{\mathit{t}}}\right)\right)\mathbf{\boldsymbol{\mathit{\Pi}}}_{m\times\mathbf{\boldsymbol{\mathit{n}}}}\,.$ 。它对时间的导数定义为
元素为时间 $\pmb{t}$ 的函数之矩阵记为 $\underline{{A}}\left(\mathbf{\boldsymbol{\mathit{t}}}\right)=\left(\mathbf{\boldsymbol{\mathit{a}}}_{i j}\left(\mathbf{\boldsymbol{\mathit{t}}}\right)\right)_{m\times\mathbf{\boldsymbol{\mathit{n}}}}\,.$ 。它对时间的导数定义为
$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\underline{{\sf A}}\,{\stackrel{\mathrm{def}}{=}}\,\underline{{\dot{\bf A}}}=\left(\frac{\mathrm{d}A_{i j}}{\mathrm{d}t}\right)_{m\times n}
@ -721,21 +721,21 @@ $$
在运动学与动力学的分析中将遇到多个变量的微分方程组与代数方程组。如果这组变量为 $\pmb{n}$ 个,通常引人一 $\pmb{n}$ 阶列矩阵表示这组变量,例
$$
\underline{{\boldsymbol{q}}}=(\,\underline{{\boldsymbol{q}}}_{1}\;\;\;\;\;\;\mathbf{q}_{2}\;\;\;\;\;\cdots\;\;\;\;q_{n}\,)^{\intercal}
\underline{{\boldsymbol{q}}}=(\,{{{q}}}_{1}\;\;\;\;\;\;{q}_{2}\;\;\;\;\;\cdots\;\;\;\;q_{n}\,)^{\intercal}
$$
考虑以这组变量为自变量的一标量函数,记为 $a\left(\underline{{q}}\right)$ ,定义函数 $a\left(\underline{{q}}\right)$ 对变量阵 $\underline{{\pmb q}}$ 的偏导数为
$$
{\frac{\partial a}{\partial\underline{{q}}}}{\stackrel{\mathrm{def}}{\longrightarrow}}\underline{{a}}_{q}=\left({\frac{\partial a}{\partial q_{j}}}\right)_{1\times\,\pi}
{\frac{\partial a}{\partial\underline{{q}}}}{\stackrel{\mathrm{def}}{\longrightarrow}}\underline{{a}}_{q}=\left({\frac{\partial a}{\partial q_{j}}}\right)_{1\times\,n}
$$
$\underline{{\pmb{a}}}_{\pmb{q}}$ 为 $\pmb{n}$ 阶行阵。注意,它与通常定义 $\underline{{\pmb{a}}}$ 为列阵的符号[见式(1.18)]不一致。
又令 $^{m}$ 阶列阵 $\underline{{\boldsymbol{\Phi}}}=\left(\,\boldsymbol{\Phi}_{1}\left(\,\underline{{\boldsymbol{q}}}\,\right)\quad\boldsymbol{\Phi}_{2}\left(\,\underline{{\boldsymbol{q}}}\,\right)\quad\cdots\quad\boldsymbol{\Phi}_{m}\left(\,\underline{{\boldsymbol{q}}}\,\right)\,\right)^{\intercal}$ ,其元素为变量阵 $\underline{{\pmb q}}$ 的函数。用 $_i$ 表示行下标,用 $_j$ 表示列下标,定义列阵 $\underline{{\pmb{\varPhi}}}$ 对变量阵q的偏导数为
又令 ${m}$ 阶列阵 $\underline{{\boldsymbol{\Phi}}}=\left(\,\boldsymbol{\Phi}_{1}\left(\,\underline{{\boldsymbol{q}}}\,\right)\quad\boldsymbol{\Phi}_{2}\left(\,\underline{{\boldsymbol{q}}}\,\right)\quad\cdots\quad\boldsymbol{\Phi}_{m}\left(\,\underline{{\boldsymbol{q}}}\,\right)\,\right)^{\intercal}$ ,其元素为变量阵 $\underline{{\pmb q}}$ 的函数。用 $_i$ 表示行下标,用 $_j$ 表示列下标,定义列阵 $\underline{{\pmb{\varPhi}}}$ 对变量阵q的偏导数为
$$
{\frac{\partial{\underline{{\Phi}}}}{\partial\underbrace{q}}}{\frac{\mathrm{def}}{\pi}}{\underline{{\Phi}}}_{q}=\left({\frac{\partial{\bar{\Phi}}_{i}}{\partial q_{j}}}\right)_{m\times\pi}
{\frac{\partial{\underline{{\Phi}}}}{\partial\underline{q}}}{\frac{\mathrm{def}}{}}{\underline{{\Phi}}}_{q}=\left({\frac{\partial{{\Phi}}_{i}}{\partial q_{j}}}\right)_{m\times n}
$$
其中, $\underline{{\boldsymbol{\varPhi}}}_{q}$ 为 $m\times n$ 阶矩阵。
@ -758,7 +758,7 @@ $$
# 1.2.1 矢量、矢量基与基矢量
矢量 $\pmb{\alpha}$ 是一个具有方向与大小的量。它的大小称为模,记为 $\left|\textbf{\em a}\right|$ 。模为 1的矢量称为单位矢量。模为0的矢量称为零矢量记为0。矢量在几何上可用一个带箭头的线段来描述,线段的长度表示它的模,箭头在某一空间的指向为它的方向。
矢量 $\pmb{\alpha}$ 是一个具有方向与大小的量。它的大小称为模,记为 $|a|$ 。模为 1的矢量称为单位矢量。模为0的矢量称为零矢量记为0。矢量在几何上可用一个带箭头的线段来描述,线段的长度表示它的模,箭头在某一空间的指向为它的方向。
模相等方向一致的两矢量 $\pmb{a}$ 与 $\pmb{b}$ 称为两矢量相等,记为
@ -772,7 +772,7 @@ $$
\pmb{c}=\pmb{\alpha}\pmb{a}
$$
两矢量 $\pmb{a}$ 与 $\pmb{b}$ 的和为一个矢量,记为$\pmb{c}$ ,有
两矢量 $\pmb{a}$ 与 $\pmb{b}$ 的和为一个矢量,记为${c}$ ,有
![](images/e7ec8a7aa9977d09175dad402b3276f8026cc39953ca0a78d6d936bc9096b8b3.jpg)
$\pmb{c}=\pmb{a}+\pmb{b}\qquad\qquad(1\,.\,2-3)$ 图11几何矢量运算
@ -780,17 +780,17 @@ $\pmb{c}=\pmb{a}+\pmb{b}\qquad\qquad(1\,.\,2-3)$ 图11几何矢量运算
它与两矢量 $\pmb{a}$ 与 $\pmb{b}$ 的关系遵循如图 1- la中平行四边形法则。矢量的和运算遵循结合律与交换律即有
$$
\textbf{\em a}+\pmb{b}+\pmb{c}=\left(\pmb{a}+\pmb{b}\right)+\pmb{c}=\pmb{a}+\left(\pmb{b}+\pmb{c}\right)
\textbf{ a}+\pmb{b}+\pmb{c}=\left(\pmb{a}+\pmb{b}\right)+\pmb{c}=\pmb{a}+\left(\pmb{b}+\pmb{c}\right)
$$
$$
\pmb{a}+\pmb{b}=\pmb{b}+\pmb{a}
$$
两矢量 $\pmb{a}$ 与 $\pmb{b}$ 的点积为一个标量,记为 $\pmb{\alpha}$ ,它的大小为
**两矢量 $\pmb{a}$ 与 $\pmb{b}$ 的点积为一个标量**,记为 $\pmb{\alpha}$ ,它的大小为
$$
\mathbf{\mu}_{a}=\mathbf{a}\cdot\pmb{b}\ {\stackrel{\mathrm{def}}{=}}\ \parallel\pmb{b}\mid\cos\ \theta
{a}=\mathbf{a}\cdot\pmb{b}\ {\stackrel{\mathrm{def}}{=}}\ |\mathbf{a}||\mathbf{b}\mid\cos\ \theta
$$
其中 $\boldsymbol{\theta}$ 为两矢量 $\pmb{a}$ 与 $\pmb{b}$ 的夹角。矢量的点积有交换律,即
@ -805,7 +805,7 @@ $$
\pmb{c}=\pmb{a}\times\pmb{b}
$$
它的方向垂直于两矢量 $\pmb{\Bigg\Updownarrow}$ 与 $\pmb{b}$ 构成的平面,且三矢量 ${\pmb{a}}\,,{\pmb{b}}\,,{\pmb{c}}$ 的正向依次遵循右手法则(图 1-1b)。矢量 $\pmb{c}$ 的模为
它的方向垂直于两矢量 $\mathbf{a}$ 与 $\pmb{b}$ 构成的平面,且三矢量 ${\pmb{a}}\,,{\pmb{b}}\,,{\pmb{c}}$ 的正向依次遵循右手法则(图 1-1b)。矢量 $\pmb{c}$ 的模为
$$
|\,\mathbfit{c}\,|=|\,\mathbfit{a}\,\parallel\,\mathbfit{b}\,|\,\sin\,\theta
@ -871,7 +871,7 @@ $$
\pmb{e}_{\alpha}\times\pmb{e}_{\beta}=\pmb{\varepsilon}_{\alpha\beta\gamma}\pmb{e}_{\gamma}
$$
其中, $\updelta_{\alpha\beta}$ 称为克罗内克符号,即
其中, $\updelta_{\alpha\beta}$ 称为**克罗内克符号**,即
$$
\delta_{\alpha\beta}=\left\{\begin{array}{l l}{{1}}&{{\\stackrel{\triangledown}{\rightleftarrows}\alpha\ne\beta}}\\ {{0}}&{{\stackrel{\triangledown}{\rightleftarrows}\alpha=\beta}}\end{array}\quad\quad(\,\alpha\,,\beta=1\,,2\,,3\,)
@ -889,7 +889,7 @@ $$
\underline{{\pmb{e}}}=(\,\pmb{e}_{1}\,\,\pmb{e}_{2}\,\,\pmb{e}_{3}\,)^{\textup T}
$$
来表示这个矢量基。对于不同的基,在 $\underline{{\pmb\ell}}$ 上加上标加以区分。例,基 $\underline{e}^{b}$ 与基 $\underline{{e}}^{\prime}$ 分别表示两个不同的基。考虑到式(1.219)和式(1.220),分别可将式(1.2-17)和式(1.2-18)化简为
来表示这个矢量基。对于不同的基,在 $\underline{{\mathbf{e}}}$ 上加上标加以区分。例,基 $\underline{e}^{b}$ 与基 $\underline{{e}}^{\prime}$ 分别表示两个不同的基。考虑到式(1.219)和式(1.220),分别可将式(1.2-17)和式(1.2-18)化简为
$$
\underline{{e}}\cdot\underline{{e}}^{\tau}=\underline{{I}}_{3}