From b47a26583c9bd28be1814bb5f6b87de7320a75b5 Mon Sep 17 00:00:00 2001
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Date: Tue, 30 Sep 2025 13:25:41 +0800
Subject: [PATCH] vault backup: 2025-09-30 13:25:40

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 ...IC_LOADING谐波载荷响应]]解释3-1节的逻辑.md | 384 ++++++++++++++++++
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+tags:
+  - copilot-conversation
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+
+**user**: [[Chap 3 RESPONSE TO HARMONIC LOADING谐波载荷响应]]解释3-1节的逻辑
+[Timestamp: 2025/09/30 12:16:02]
+
+**ai**: 好的，我们来梳理一下 [[Chap 3 RESPONSE TO HARMONIC LOADING谐波载荷响应]] 中 3-1 节“无阻尼系统”的逻辑。
+
+这一节的核心目标是：**求解一个无阻尼的单自由度系统在简谐载荷作用下的动力响应**。整个推导过程遵循标准的二阶线性非齐次微分方程求解思路，并对最终结果进行物理意义的解读。
+
+其逻辑可以分为以下几个步骤：
+
+### 1. 建立问题模型（运动方程）
+首先，文章从一个带阻尼的通用系统运动方程 (3-1) 出发：
+$$ m\;\ddot{v}(t)+c\;\dot{v}(t)+k\;v(t)=p_{_o}\;\sin\overline{{{\omega}}}t $$
+为了简化问题、建立基本概念，本节先研究最简单的情况，即**无阻尼系统**（$c=0$）。于是，运动方程简化为式 (3-2)：
+$$ m\ \ddot{v}(t)+k\ v(t)=p_{o}\ \sin\overline{{\omega}}t $$
+这个方程描述了一个质量为 $m$、刚度为 $k$ 的系统，受到一个幅值为 $p_o$、频率为 $\overline{\omega}$ 的正弦载荷作用下的运动。
+
+### 2. 求解微分方程（数学方法）
+这是一个典型的二阶线性非齐次微分方程。其通解 $v(t)$ 由两部分组成：
+$$ v(t) = v_c(t) + v_p(t) $$
+其中：
+- $v_c(t)$ 是**互补解**（Complementary Solution），也叫齐次解。它对应的是没有外力作用时系统的自由振动。
+- $v_p(t)$ 是**特解**（Particular Solution）。它对应的是系统在外力持续作用下最终达到的稳定状态振动。
+
+### 3. 求解互补解 $v_c(t)$
+互补解是对应齐次方程 $m\ \ddot{v}(t)+k\ v(t)=0$ 的解。这个解描述了系统的**自由振动**，其形式在第二章已经给出，即式 (3-3)：
+$$ v_{c}(t)=A\,\cos\omega t+B\,\sin\omega t $$
+这里的 $\omega = \sqrt{k/m}$ 是系统的**固有频率**，而 $A$ 和 $B$ 是待定常数，取决于初始条件。
+
+### 4. 求解特解 $v_p(t)$
+特解需要满足原方程 (3-2)。根据物理直觉，当一个系统受到简谐力作用时，其稳态响应也应该是同频率的简谐运动。因此，可以合理地假设特解的形式为式 (3-4)：
+$$ v_{p}(t)=C\,\sin{\overline{{\omega}}t} $$
+这里的 $C$ 是待定的响应幅值。将这个假设代入原方程 (3-2)，经过一系列代数运算（如式 (3-5) 所示），可以解出幅值 $C$，得到式 (3-6)：
+$$ C=\frac{p_{o}}{k}\left[\frac{1}{1-\beta^{2}}\right] $$
+在这个过程中，引入了一个非常关键的无量纲参数——**频率比** $\beta = \overline{\omega} / \omega$（式 3-7），它代表了外部激励频率与系统固有频率的比值。
+
+### 5. 组合得到通解并确定常数
+将互补解 (3-3) 和特解 (3-4)（代入已求出的C）相加，得到系统的**通解** (3-8)：
+$$ v(t)=A\ \cos{\omega t}+B\ \sin{\omega t}+{\frac{p_{o}}{k}}\left[{\frac{1}{1-\beta^{2}}}\right]\ \sin{\overline{{\omega t}}} $$
+这个解中还有两个未知数 $A$ 和 $B$。为了确定它们，需要代入**初始条件**。本节假设系统**从静止开始运动**，即 $v(0)=0$ 和 $\dot{v}(0)=0$。将这两个条件代入通解，即可解出 $A$ 和 $B$ 的值（式 3-9），最终得到系统在静止启动条件下的完整响应，即式 (3-10)：
+$$ v(t)=\frac{p_{o}}{k}\,\left[\frac{1}{1-\beta^{2}}\right]\,\left(\sin\overline{{\omega}}t-\beta\,\sin\omega t\right) $$
+
+### 6. 解读最终响应的物理意义
+式 (3-10) 是本节的核心结果，文章对其进行了详细的物理意义解释：
+- **第一部分：稳态响应 (Steady-state response)**
+  - $\sin\overline{\omega}t$ 项：这部分的振动频率与外加载荷频率 $\overline{\omega}$ 相同。它代表了系统在荷载持续作用下的**强迫振动**部分。在有阻尼的实际系统中，另一部分会衰减消失，只有这部分会永久持续下去，因此称为“稳态响应”。
+- **第二部分：瞬态响应 (Transient response)**
+  - $\beta\sin\omega t$ 项：这部分的振动频率是系统的固有频率 $\omega$。它是由初始条件（从静止启动）激发的**自由振动**部分。在实际有阻尼的系统中，这部分振动会随着时间逐渐衰减消失，因此称为“瞬态响应”。
+- **放大系数 (Magnification Factor, MF)**
+  - $1/(1-\beta^2)$ 项：这个系数乘以静位移 $p_o/k$，得到了稳态响应的幅值。它反映了动力效应相比于静力效应的放大程度。当 $\beta \to 1$ 时，该系数趋于无穷大，这就是**共振**现象。
+- **响应比 $R(t)$ 与“拍频”现象**
+  - 为了更直观地分析，引入了**响应比** $R(t) = v(t) / (p_o/k)$，如式 (3-12) 所示。
+  - 当两个频率 $\omega$ 和 $\overline{\omega}$ 比较接近时，稳态响应和瞬态响应会发生干涉，导致总响应的振幅时大时小，形成**“拍频”（beating）**现象，如图 3-1c 所示。
+
+### 总结
+3-1节的逻辑非常清晰：
+**提出问题 (无阻尼谐振) -> 数学求解 (微分方程) -> 物理诠释 (稳态+瞬态响应)**。
+它通过一个最简化的理想模型，引出了谐波加载下结构响应的几个核心概念：**稳态响应**、**瞬态响应**、**频率比 $\beta$** 和**动力放大系数**，为后续讨论更复杂的有阻尼系统打下了坚实的基础。
+[Timestamp: 2025/09/30 12:16:39]
+
+**user**: 展示公式3-2带入3-5得到3-6的过程
+[Timestamp: 2025/09/30 12:24:43]
+
+**ai**: 好的，我们来详细展示一下从公式 (3-2) 和 (3-4) 出发，经过 (3-5)，最终推导出 (3-6) 的完整过程。
+
+### 目标
+我们的目标是求解特解 $v_p(t)$ 中的待定振幅 $C$。
+
+### 步骤 1: 列出初始方程
+首先，我们有无阻尼系统的运动方程 (3-2) 和我们假设的特解形式 (3-4)。
+
+- **运动方程 (3-2):**
+  $$ m\ \ddot{v}(t)+k\ v(t)=p_{o}\ \sin\overline{{\omega}}t $$
+
+- **假设的特解 (3-4):**
+  $$ v_{p}(t)=C\,\sin{\overline{{\omega}}t} $$
+
+### 步骤 2: 求特解的二阶导数
+为了将特解 $v_p(t)$ 代入运动方程，我们需要计算它对时间 $t$ 的二阶导数 $\ddot{v}_p(t)$。
+
+- **一阶导数 (速度):**
+  $$ \dot{v}_{p}(t) = \frac{d}{dt}(C\,\sin{\overline{{\omega}}t}) = C \cdot \overline{\omega} \cos{\overline{\omega}t} $$
+
+- **二阶导数 (加速度):**
+  $$ \ddot{v}_{p}(t) = \frac{d}{dt}(C \overline{\omega} \cos{\overline{\omega}t}) = -C \overline{\omega}^2 \sin{\overline{\omega}t} $$
+
+### 步骤 3: 代入运动方程，得到公式 (3-5)
+现在，我们将 $v_p(t)$ 和 $\ddot{v}_p(t)$ 的表达式代入运动方程 (3-2) 的左侧：
+
+$$ m(\ddot{v}_p(t)) + k(v_p(t)) = p_{o}\ \sin\overline{{\omega}}t $$
+$$ m(-C \overline{\omega}^2 \sin{\overline{\omega}t}) + k(C\,\sin{\overline{{\omega}}t}) = p_{o}\ \sin\overline{{\omega}}t $$
+
+整理后，我们就得到了**公式 (3-5)**：
+$$ -m\,\overline{{{\omega}}}^{2}\,C\,\sin\overline{{{\omega}}}t+k\,C\,\sin\overline{{{\omega}}}t=p_{o}\,\sin\overline{{{\omega}}}t $$
+
+### 步骤 4: 求解 C，得到公式 (3-6)
+从公式 (3-5) 开始，我们的目标是解出常数 $C$。
+
+1.  **提取公因式**: 方程左侧的每一项都包含 $C\,\sin\overline{{{\omega}}}t$。
+    $$ (k - m\,\overline{{{\omega}}}^{2})\,C\,\sin\overline{{{\omega}}}t = p_{o}\,\sin\overline{{{\omega}}}t $$
+
+2.  **消去时间项**: 由于这个方程必须在任意时刻 $t$ 都成立，我们可以消去两边共有的 $\sin\overline{{{\omega}}}t$ 项（假设它不恒为零）。
+    $$ (k - m\,\overline{{{\omega}}}^{2})\,C = p_{o} $$
+
+3.  **分离 C**: 将 $(k - m\,\overline{{{\omega}}}^{2})$ 除到右边。
+    $$ C = \frac{p_o}{k - m\,\overline{{{\omega}}}^{2}} $$
+
+4.  **引入无量纲参数**: 为了得到公式 (3-6) 的标准形式，我们进行如下变换：
+    - 从分母中提取 $k$：
+      $$ C = \frac{p_o}{k(1 - \frac{m}{k}\overline{{{\omega}}}^{2})} $$
+    - 我们知道系统的固有频率 $\omega^2 = k/m$，所以 $m/k = 1/\omega^2$。代入上式：
+      $$ C = \frac{p_o}{k(1 - \frac{\overline{{{\omega}}}^{2}}{\omega^2})} $$
+    - 根据频率比的定义 **(3-7)**, $\beta = \overline{\omega}/\omega$，因此 $\beta^2 = \overline{\omega}^2/\omega^2$。再次代入：
+      $$ C = \frac{p_o}{k(1 - \beta^2)} $$
+
+5.  **整理形式**: 将上式写成与书中一致的形式，就得到了**公式 (3-6)**：
+    $$ C=\frac{p_{o}}{k}\left[\frac{1}{1-\beta^{2}}\right] $$
+
+这样，我们就完成了从 (3-2) 到 (3-6) 的完整推导。
+[Timestamp: 2025/09/30 12:25:20]
+
+**user**: 展示公式3-8得到3-9的详细过程
+[Timestamp: 2025/09/30 12:32:48]
+
+**ai**: 好的，我们来详细展示一下如何从通解公式 (3-8) 和“从静止开始”的初始条件，推导出待定常数 A 和 B 的表达式 (3-9)。
+
+### 目标
+我们的目标是利用初始条件来求解通解中的待定常数 $A$ 和 $B$。
+
+### 步骤 1: 列出通解和初始条件
+- **通解 (3-8):**
+  $$ v(t)=A\ \cos{\omega t}+B\ \sin{\omega t}+{\frac{p_{o}}{k}}\left[{\frac{1}{1-\beta^{2}}}\right]\ \sin{\overline{{\omega t}}} $$
+
+- **初始条件 (从静止开始):**
+  1.  初始位移为零: $v(0) = 0$
+  2.  初始速度为零: $\dot{v}(0) = 0$
+
+### 步骤 2: 应用第一个初始条件 $v(0) = 0$
+我们将 $t=0$ 代入通解方程 (3-8)：
+
+$$ v(0) = A\ \cos(\omega \cdot 0)+B\ \sin(\omega \cdot 0)+{\frac{p_{o}}{k}}\left[{\frac{1}{1-\beta^{2}}}\right]\ \sin(\overline{{\omega}} \cdot 0) $$
+
+我们知道 $\cos(0) = 1$ 且 $\sin(0) = 0$。代入这些值：
+
+$$ v(0) = A \cdot (1) + B \cdot (0) + {\frac{p_{o}}{k}}\left[{\frac{1}{1-\beta^{2}}}\right] \cdot (0) $$
+$$ v(0) = A + 0 + 0 = A $$
+
+因为初始条件要求 $v(0) = 0$，所以我们得到：
+$$ A = 0 $$
+这是公式 (3-9) 的第一部分。
+
+### 步骤 3: 求速度方程 $\dot{v}(t)$
+为了应用第二个初始条件 $\dot{v}(0) = 0$，我们首先需要对位移方程 (3-8) 求关于时间 $t$ 的一阶导数，得到速度方程 $\dot{v}(t)$。
+
+$$ \dot{v}(t) = \frac{d}{dt} \left( A\ \cos{\omega t}+B\ \sin{\omega t}+{\frac{p_{o}}{k}}\left[{\frac{1}{1-\beta^{2}}}\right]\ \sin{\overline{{\omega t}}} \right) $$
+$$ \dot{v}(t) = -A\omega\ \sin{\omega t}+B\omega\ \cos{\omega t}+{\frac{p_{o}}{k}}\left[{\frac{1}{1-\beta^{2}}}\right]\ \overline{\omega}\cos{\overline{{\omega t}}} $$
+
+### 步骤 4: 应用第二个初始条件 $\dot{v}(0) = 0$
+现在，我们将 $t=0$ 代入速度方程 $\dot{v}(t)$：
+
+$$ \dot{v}(0) = -A\omega\ \sin(\omega \cdot 0)+B\omega\ \cos(\omega \cdot 0)+{\frac{p_{o}}{k}}\left[{\frac{1}{1-\beta^{2}}}\right]\ \overline{\omega}\cos(\overline{{\omega}} \cdot 0) $$
+
+再次使用 $\sin(0) = 0$ 和 $\cos(0) = 1$：
+
+$$ \dot{v}(0) = -A\omega \cdot (0) + B\omega \cdot (1) + {\frac{p_{o}}{k}}\left[{\frac{1}{1-\beta^{2}}}\right]\ \overline{\omega} \cdot (1) $$
+$$ \dot{v}(0) = 0 + B\omega + {\frac{p_{o}}{k}}\left[{\frac{1}{1-\beta^{2}}}\right]\ \overline{\omega} $$
+
+因为初始条件要求 $\dot{v}(0) = 0$，所以：
+$$ B\omega + {\frac{p_{o}}{k}}\left[{\frac{1}{1-\beta^{2}}}\right]\ \overline{\omega} = 0 $$
+
+### 步骤 5: 求解 B
+现在我们从上式中解出 $B$：
+
+1.  将包含 $p_o$ 的项移到方程右边：
+    $$ B\omega = -{\frac{p_{o}}{k}}\left[{\frac{1}{1-\beta^{2}}}\right]\ \overline{\omega} $$
+
+2.  两边同时除以 $\omega$：
+    $$ B = -{\frac{p_{o}}{k}}\left[{\frac{1}{1-\beta^{2}}}\right]\ \frac{\overline{\omega}}{\omega} $$
+
+3.  根据频率比的定义 (3-7)，我们有 $\beta = \overline{\omega}/\omega$。将此代入上式：
+    $$ B = -{\frac{p_{o}}{k}}\left[{\frac{1}{1-\beta^{2}}}\right]\ \beta $$
+
+4.  整理一下形式，就得到了公式 (3-9) 的第二部分：
+    $$ B = -{\frac{p_{o}\beta}{k}}\left[{\frac{1}{1-\beta^{2}}}\right] $$
+
+### 总结
+通过应用两个初始条件 $v(0)=0$ 和 $\dot{v}(0)=0$，我们成功地求解出了通解中的两个待定常数：
+$$ A=0 $$
+$$ B=-{\frac{p_{o}\beta}{k}}\left[{\frac{1}{1-\beta^{2}}}\right] $$
+这与公式 (3-9) 完全一致。
+[Timestamp: 2025/09/30 12:33:17]
+
+**user**: 解释3-2节的逻辑
+[Timestamp: 2025/09/30 12:45:27]
+
+**ai**: 好的，我们来梳理一下 [[Chap 3 RESPONSE TO HARMONIC LOADING谐波载荷响应]] 中 3-2 节“有粘性阻尼的系统”的逻辑。
+
+这一节是上一节（无阻尼系统）的自然延伸，目标是**求解一个有粘性阻尼的单自由度系统在简谐载荷作用下的动力响应**。这更贴近实际工程情况，因为所有真实系统都存在能量耗散（阻尼）。
+
+其逻辑可以分为以下几个核心步骤：
+
+### 1. 建立更真实的物理模型（带阻尼的运动方程）
+本节回到了完整的运动方程 (3-1)，并将其改写为包含**阻尼比 $\xi$** 的标准形式 (3-13)：
+$$ \ddot{v}(t)+2\,\xi\,\omega\,\dot{v}(t)+\omega^{2}\,v(t)=\frac{p_{\scriptscriptstyle o}}{m}\,\sin\overline{{\omega}}t $$
+这是本节所有分析的基础。
+
+### 2. 求解微分方程（与3-1节类似但更复杂）
+求解方法依然是寻找通解 $v(t) = v_c(t) + v_p(t)$。
+
+- **互补解 $v_c(t)$ (瞬态响应):**
+  这部分是阻尼系统的自由振动响应，在第二章已经推导过。其形式如式 (3-14) 所示，关键特征是包含一个指数衰减项 $\exp(-\xi\omega t)$。这意味着，与无阻尼系统不同，**这部分响应会随着时间推移而衰减至零**。因此，它被称为**瞬态响应 (transient response)**。
+
+- **特解 $v_p(t)$ (稳态响应):**
+  这是本节的重点。由于阻尼的存在，系统的响应通常会滞后于施加的载荷。
+  - **关键假设的变化：** 在无阻尼系统中，我们假设响应与载荷同相（都是 $\sin$ 函数）。但在有阻尼系统中，为了能描述这种相位差，必须假设特解是**同频率的正弦和余弦函数的组合**，如式 (3-15)：
+    $$ v_{p}(t)=G_{1}\,\cos{\overline{{\omega}}t}+G_{2}\,\sin{\overline{{\omega}}t} $$
+    这里的 $G_1$ 和 $G_2$ 是待定系数。
+  - **求解系数：** 将这个假设的解代入运动方程 (3-13)，会得到一个既包含 $\cos\overline{\omega}t$ 又包含 $\sin\overline{\omega}t$ 的长式子 (3-16)。为了让这个等式在任意时刻 $t$ 都成立，$\cos$ 项和 $\sin$ 项的系数必须分别等于零。这就产生了一个关于 $G_1$ 和 $G_2$ 的二元一次方程组 (3-17)。
+  - **解出系数：** 求解这个方程组，就可以得到 $G_1$ 和 $G_2$ 的表达式 (3-18)。
+
+### 3. 组合并简化响应表达式
+将求出的 $G_1$ 和 $G_2$ 代回特解，再与互补解相加，就得到了系统的完整响应 (3-19)。然而，这个表达式非常复杂。由于瞬态响应会消失，工程上更关心的是**稳态谐波响应 (Steady-State Harmonic Response)**，即特解部分 (3-20)。
+
+### 4. 物理意义的解读（核心概念）
+为了更好地理解稳态响应，教材将其从复杂的 $G_1\cos + G_2\sin$ 形式，转化为更直观的**振幅-相位**形式：
+$$ v_{p}(t)=\rho\,\sin(\overline{{\omega}}t-\theta) $$
+这个形式告诉我们，稳态响应是一个振幅为 $\rho$、频率与外力相同、但相比外力滞后了一个相位角 $\theta$ 的简谐振动。
+
+由此引出了本节最重要的两个概念：
+1.  **响应振幅 $\rho$ (式 3-22) 和动力放大系数 $D$ (式 3-24):**
+    - 动力放大系数 $D$ 定义为动态响应振幅 $\rho$ 与静力位移 $p_o/k$ 的比值。
+    - $D = \left[(1-\beta^{2})^{2}+(2\xi\beta)^{2}\right]^{-1/2}$
+    - 它描述了在不同频率比 $\beta$ 和阻尼比 $\xi$ 下，系统振动被放大的程度。从图 3-3 可以看出，**阻尼 $\xi$ 能够有效抑制共振峰值**。
+2.  **相位角 $\theta$ (式 3-23):**
+    - $\theta=\tan^{-1}\left[\frac{2\xi\beta}{1-\beta^{2}}\right]$
+    - 它描述了响应位移滞后于外加载荷的角度。从图 3-4 可以看出，在共振区（$\beta=1$）附近，相位角接近 $90^\circ$；在远高于共振频率时，相位角接近 $180^\circ$（响应与载荷反向）。
+
+### 5. 提供另一种更强大的求解工具（复数法）
+教材接着介绍了另一种求解稳态响应的方法——**复数指数法**。
+- **逻辑：** 将谐波荷载和响应都用复数形式 $e^{i\overline{\omega}t}$ 表示。这样做的好处是，微分运算变成了简单的代数运算（乘以 $i\overline{\omega}$）。
+- **过程：** 将复数形式的解代入运动方程 (3-25)，可以直接解出一个复数振幅 $G$ (式 3-27)。
+- **结果：** 这个复数振幅 $G$ 的**模**就是前面求出的响应振幅 $\rho$，它的**辐角**就是相位角 $\theta$ 的相反数。这种方法得到的结果与前面的三角函数法完全一致，但过程更简洁，尤其在处理更复杂系统时优势明显。
+
+### 总结
+3-2节的逻辑是：
+**建立有阻尼模型 -> 求解微分方程（三角函数法） -> 聚焦于稳态响应 -> 提炼出核心物理概念（动力放大系数 D 和相位角 θ） -> 介绍更高效的求解工具（复数法）并验证结果。**
+
+相比于3-1节，本节的核心是引入了**阻尼**，并深刻揭示了它带来的两个关键物理效应：一是**抑制共振峰值**，二是导致**响应与激励之间产生相位差**。
+[Timestamp: 2025/09/30 12:46:16]
+
+**user**: 详细展示3-2节中的推导过程
+[Timestamp: 2025/09/30 13:08:21]
+
+**ai**: 好的，我们来详细地分步展示3-2节中从建立运动方程到得出最终响应振幅和相位角的全过程。
+
+这个过程主要分为两个大的部分：
+1.  **求解特解系数**：从方程 (3-13) 和 (3-15) 出发，推导出 (3-18)。
+2.  **转换为振幅-相位形式**：从特解 (3-20) 出发，推导出振幅 $\rho$ (3-22) 和相位角 $\theta$ (3-23)。
+
+---
+
+### 第1部分：求解特解系数 $G_1$ 和 $G_2$
+
+#### 步骤 1.1: 准备工作
+我们从标准化的运动方程 (3-13) 和假设的特解 (3-15) 开始。
+
+- **运动方程 (3-13):**
+  $$ \ddot{v}(t)+2\,\xi\,\omega\,\dot{v}(t)+\omega^{2}\,v(t)=\frac{p_{\scriptscriptstyle o}}{m}\,\sin\overline{{\omega}}t $$
+
+- **假设的特解 (3-15):**
+  $$ v_{p}(t)=G_{1}\,\cos{\overline{{\omega}}t}+G_{2}\,\sin{\overline{{\omega}}t} $$
+
+#### 步骤 1.2: 求特解的导数
+为了代入运动方程，我们需要计算 $v_p(t)$ 的一阶和二阶导数。
+
+- **一阶导数 (速度):**
+  $$ \dot{v}_{p}(t) = -G_{1}\overline{\omega}\,\sin{\overline{{\omega}}t} + G_{2}\overline{\omega}\,\cos{\overline{{\omega}}t} $$
+
+- **二阶导数 (加速度):**
+  $$ \ddot{v}_{p}(t) = -G_{1}\overline{\omega}^2\,\cos{\overline{{\omega}}t} - G_{2}\overline{\omega}^2\,\sin{\overline{{\omega}}t} $$
+
+#### 步骤 1.3: 代入运动方程
+现在，我们将 $v_p$, $\dot{v}_p$, 和 $\ddot{v}_p$ 的表达式代入运动方程 (3-13) 的左侧：
+
+$$ \underbrace{(-G_{1}\overline{\omega}^2\,\cos{\overline{{\omega}}t} - G_{2}\overline{\omega}^2\,\sin{\overline{{\omega}}t})}_{\ddot{v}(t)} + \underbrace{2\xi\omega(-G_{1}\overline{\omega}\,\sin{\overline{{\omega}}t} + G_{2}\overline{\omega}\,\cos{\overline{{\omega}}t})}_{2\xi\omega\dot{v}(t)} + \underbrace{\omega^2(G_{1}\,\cos{\overline{{\omega}}t}+G_{2}\,\sin{\overline{{\omega}}t})}_{\omega^2 v(t)} = \frac{p_o}{m}\sin\overline{\omega}t $$
+
+#### 步骤 1.4: 分离 $\cos$ 和 $\sin$ 项，得到 (3-16)
+为了求解 $G_1$ 和 $G_2$，我们将上式中所有 $\cos(\overline{\omega}t)$ 的系数和所有 $\sin(\overline{\omega}t)$ 的系数分别合并在一起。
+
+- **合并 $\cos(\overline{\omega}t)$ 的系数:**
+  $$ (-G_1\overline{\omega}^2 + 2\xi\omega G_2\overline{\omega} + \omega^2 G_1)\cos(\overline{\omega}t) $$
+
+- **合并 $\sin(\overline{\omega}t)$ 的系数:**
+  $$ (-G_2\overline{\omega}^2 - 2\xi\omega G_1\overline{\omega} + \omega^2 G_2)\sin(\overline{\omega}t) $$
+
+将右侧的项移到左边，整个方程变为：
+$$ (-G_1\overline{\omega}^2 + 2\xi\omega G_2\overline{\omega} + \omega^2 G_1)\cos(\overline{\omega}t) + (-G_2\overline{\omega}^2 - 2\xi\omega G_1\overline{\omega} + \omega^2 G_2 - \frac{p_o}{m})\sin(\overline{\omega}t) = 0 $$
+这与公式 (3-16) 的形式完全一致。
+
+#### 步骤 1.5: 建立方程组，得到 (3-17)
+因为 $\cos(\overline{\omega}t)$ 和 $\sin(\overline{\omega}t)$ 是线性无关的，要使上式在任何时刻 $t$ 都成立，它们各自的系数必须为零。
+
+- **$\cos$ 项系数为零:**
+  $$ -G_1\overline{\omega}^2 + 2\xi\omega G_2\overline{\omega} + \omega^2 G_1 = 0 $$
+  $$ G_1(\omega^2 - \overline{\omega}^2) + G_2(2\xi\omega\overline{\omega}) = 0 $$
+  两边同除以 $\omega^2$:
+  $$ G_1(1 - \frac{\overline{\omega}^2}{\omega^2}) + G_2(2\xi\frac{\overline{\omega}}{\omega}) = 0 $$
+  使用 $\beta = \overline{\omega}/\omega$:
+  $$ G_1(1 - \beta^2) + G_2(2\xi\beta) = 0 \quad \text{(方程1)} $$
+
+- **$\sin$ 项系数为零:**
+  $$ -G_2\overline{\omega}^2 - 2\xi\omega G_1\overline{\omega} + \omega^2 G_2 - \frac{p_o}{m} = 0 $$
+  $$ G_2(\omega^2 - \overline{\omega}^2) - G_1(2\xi\omega\overline{\omega}) = \frac{p_o}{m} $$
+  两边同除以 $\omega^2$，并使用 $\omega^2 = k/m \implies 1/m = \omega^2/k$:
+  $$ G_2(1 - \frac{\overline{\omega}^2}{\omega^2}) - G_1(2\xi\frac{\overline{\omega}}{\omega}) = \frac{p_o}{m\omega^2} = \frac{p_o}{k} $$
+  使用 $\beta = \overline{\omega}/\omega$:
+  $$ G_2(1 - \beta^2) - G_1(2\xi\beta) = \frac{p_o}{k} \quad \text{(方程2)} $$
+
+这样我们就得到了方程组 (3-17)。
+
+#### 步骤 1.6: 求解方程组，得到 (3-18)
+现在我们求解这个二元一次方程组。
+从 **方程1** 中，我们可以解出 $G_1$:
+$$ G_1 = -G_2 \frac{2\xi\beta}{1-\beta^2} $$
+将这个表达式代入 **方程2**:
+$$ G_2(1 - \beta^2) - (-G_2 \frac{2\xi\beta}{1-\beta^2})(2\xi\beta) = \frac{p_o}{k} $$
+$$ G_2 \left[ (1 - \beta^2) + \frac{(2\xi\beta)^2}{1-\beta^2} \right] = \frac{p_o}{k} $$
+$$ G_2 \left[ \frac{(1 - \beta^2)^2 + (2\xi\beta)^2}{1-\beta^2} \right] = \frac{p_o}{k} $$
+解出 $G_2$:
+$$ G_2 = \frac{p_o}{k} \left[ \frac{1-\beta^2}{(1-\beta^2)^2 + (2\xi\beta)^2} \right] $$
+再将 $G_2$ 代回 $G_1$ 的表达式中：
+$$ G_1 = - \left( \frac{p_o}{k} \left[ \frac{1-\beta^2}{(1-\beta^2)^2 + (2\xi\beta)^2} \right] \right) \frac{2\xi\beta}{1-\beta^2} $$
+$$ G_1 = \frac{p_o}{k} \left[ \frac{-2\xi\beta}{(1-\beta^2)^2 + (2\xi\beta)^2} \right] $$
+这两个结果与公式 (3-18) 完全一致。
+
+---
+
+### 第2部分：转换为振幅-相位形式
+
+#### 步骤 2.1: 写出特解
+将求出的 $G_1$ 和 $G_2$ 代入 (3-15)，得到特解 (3-20)：
+$$ v_{p}(t)=\frac{p_{o}}{k}\,\left[\frac{1}{(1-\beta^{2})^{2}+(2\xi\beta)^{2}}\right]\,\left[(1-\beta^{2})\,\sin\overline{{\omega}}t-2\xi\beta\,\cos\overline{{\omega}}t\right] $$
+
+#### 步骤 2.2: 三角恒等变换
+我们的目标是将形如 $A\sin(x) - B\cos(x)$ 的表达式转换为 $R\sin(x-\theta)$ 的形式。
+我们使用三角恒等式：$R\sin(x-\theta) = R(\sin x \cos\theta - \cos x \sin\theta) = (R\cos\theta)\sin x - (R\sin\theta)\cos x$。
+
+比较我们特解中的括号项：
+$$ (1-\beta^{2})\,\sin\overline{{\omega}}t-2\xi\beta\,\cos\overline{{\omega}}t $$
+和恒等式：
+$$ (R\cos\theta)\sin\overline{\omega}t - (R\sin\theta)\cos\overline{\omega}t $$
+
+我们可以得到：
+1.  $R\cos\theta = 1-\beta^2$
+2.  $R\sin\theta = 2\xi\beta$
+
+#### 步骤 2.3: 求解振幅 $\rho$ (即这里的 R)
+将上面两个方程两边平方后相加：
+$$ (R\cos\theta)^2 + (R\sin\theta)^2 = (1-\beta^2)^2 + (2\xi\beta)^2 $$
+$$ R^2(\cos^2\theta + \sin^2\theta) = (1-\beta^2)^2 + (2\xi\beta)^2 $$
+因为 $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$，所以：
+$$ R^2 = (1-\beta^2)^2 + (2\xi\beta)^2 \implies R = \sqrt{(1-\beta^2)^2 + (2\xi\beta)^2} $$
+这个 $R$ 是括号内三角函数的合成振幅。完整的响应振幅 $\rho$ 还需要乘以前面的系数：
+$$ \rho = \frac{p_o}{k} \frac{1}{(1-\beta^2)^2 + (2\xi\beta)^2} \cdot R $$
+$$ \rho = \frac{p_o}{k} \frac{\sqrt{(1-\beta^2)^2 + (2\xi\beta)^2}}{(1-\beta^2)^2 + (2\xi\beta)^2} = \frac{p_o}{k} \frac{1}{\sqrt{(1-\beta^2)^2 + (2\xi\beta)^2}} $$
+这可以写成：
+$$ \rho = \frac{p_o}{k} [(1-\beta^2)^2 + (2\xi\beta)^2]^{-1/2} $$
+这正是公式 (3-22)。
+
+#### 步骤 2.4: 求解相位角 $\theta$
+将方程2除以方程1：
+$$ \frac{R\sin\theta}{R\cos\theta} = \frac{2\xi\beta}{1-\beta^2} $$
+$$ \tan\theta = \frac{2\xi\beta}{1-\beta^2} $$
+$$ \theta = \tan^{-1}\left[\frac{2\xi\beta}{1-\beta^{2}}\right] $$
+这正是公式 (3-23)。
+
+通过以上详细的推导，我们从最基本的运动方程和假设出发，一步步得到了有阻尼系统稳态响应的振幅和相位角的完整表达式。
+[Timestamp: 2025/09/30 13:09:13]
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