From a641ea178c20b8b95ba629d2dbb25445c97060f9 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: aGYZ <5722745+agyz@user.noreply.gitee.com> Date: Tue, 18 Feb 2025 21:33:44 +0800 Subject: [PATCH] vault backup: 2025-02-18 21:33:44 --- .../计算多体系统动力学 (洪嘉振著, 洪嘉振, 1944-) (Z-Library).md | 59 +++++++++---------- 1 file changed, 29 insertions(+), 30 deletions(-) diff --git a/力学书籍/计算多体系统动力学 (洪嘉振著, 洪嘉振, 1944-) (Z-Library)/auto/计算多体系统动力学 (洪嘉振著, 洪嘉振, 1944-) (Z-Library).md b/力学书籍/计算多体系统动力学 (洪嘉振著, 洪嘉振, 1944-) (Z-Library)/auto/计算多体系统动力学 (洪嘉振著, 洪嘉振, 1944-) (Z-Library).md index 9cd6628..2d84739 100644 --- a/力学书籍/计算多体系统动力学 (洪嘉振著, 洪嘉振, 1944-) (Z-Library)/auto/计算多体系统动力学 (洪嘉振著, 洪嘉振, 1944-) (Z-Library).md +++ b/力学书籍/计算多体系统动力学 (洪嘉振著, 洪嘉振, 1944-) (Z-Library)/auto/计算多体系统动力学 (洪嘉振著, 洪嘉振, 1944-) (Z-Library).md @@ -931,7 +931,7 @@ $$ \underline{{\tilde{a}}}=\left(\begin{array}{c c c}{{0}}&{{-\:a_{3}}}&{{a_{2}}}\\ {{}}&{{}}&{{}}\\ {{a_{3}}}&{{0}}&{{-\:a_{1}}}\\ {{}}&{{}}&{{}}\\ {{-\:a_{2}}}&{{a_{1}}}&{{0}}\end{array}\right) $$ -称此方阵为矢量 $\pmb{a}$ 在该矢量基上的坐标方阵。由式(1.1一4)知， +称**此方阵为矢量 $\pmb{a}$ 在该矢量基上的坐标方阵**。由式(1.1一4)知， $$ \tilde{\underline{{a}}}^{\,\mathbf{T}}=-\,\tilde{\underline{{a}}} @@ -940,7 +940,7 @@ $$ 应该指出，根据定义矢量在几何上是一客观存在的量，与矢量基的选取无关。而矢量的坐标阵与矢量基有关。例如，有两个不同的矢量基 $\underline{{\pmb e}}^{r}$ 与 $\underline{e}^{\flat}$ 。矢量$\pmb{a}$ 在这两个基上的坐标阵分别记为 $\underline{{\boldsymbol{a}}}^{\prime}$ 与 $\underline{{a}}^{\flat}$ 。由式(1.2-27)有 $$ -\pmb{a}=\underline{{{\alpha}}}^{r\mathrm{T}}\,\underline{{{e}}}^{r}=\underline{{{a}}}^{b\mathrm{T}}\,\underline{{{e}}}^{b}\circ +\pmb{a}=\underline{{{\alpha}}}^{r\mathrm{T}}\,\underline{{{e}}}^{r}=\underline{{{a}}}^{b\mathrm{T}}\,\underline{{{e}}}^{b} $$ 或 @@ -967,7 +967,7 @@ $$ 第三式应用了式(1.2－23),第四式考虑到式(1.2－24)与式(1.2－29)。将这些式子与式(1.2-32)比较,可得到矢量的基本运算在同一基下对应的坐标运算式，现列于表1.2-1中。 -矢量阵的坐标阵分别为矢量元素的坐标阵构成的块矩阵。例,式(1.2－15)定义的矢量阵的坐标阵分别为 +**矢量阵的坐标阵分别为矢量元素的坐标阵构成的块矩阵**。例,式(1.2－15)定义的矢量阵的坐标阵分别为 $$ :=\stackrel{\scriptscriptstyle{\mathsf{d e f}}}{\longrightarrow}[\underline{{A}}_{\textit{i j}}]_{\_{m\times\underline{{\tau}}}}\stackrel{\scriptscriptstyle{\mathsf{d e f}}}{\longrightarrow}\left(\frac{A_{1\!\mathrm{u}}}{2}\right)\left(\begin{array}{c c c c}{\underline{{A}}_{12}}&{\underline{{A}}_{12}}&{\cdots}&{\underline{{A}}_{1n}}\\ {\underline{{A}}_{21}}&{\underline{{A}}_{22}}&{\cdots}&{\underline{{A}}_{2n}}\\ {\vdots}&{\vdots}&&{\vdots}\\ {\underline{{A}}_{m1}}&{\underline{{A}}_{m2}}&{\cdots}&{\underline{{A}}_{m n}}\end{array}\right),\;\underline{{\alpha}}\stackrel{\scriptscriptstyle{\mathsf{d e f}}}{\longrightarrow}\left|\frac{\underline{{\alpha}}_{1}}{\underline{{A}}_{m}}\right|=(\underline{{\alpha}}_{1}^{\mathrm{T}}\;\;\;\underline{{\alpha}}_{2}^{\mathrm{T}}\;\;\;\cdots\;\;\;\underline{{\alpha}}_{m}^{\mathrm{T}})\left(\begin{array}{c}{\underline{{A}}_{12}}\\ {\underline{{A}}_{23}}\\ {\vdots}\\ {\underline{{A}}_{m}}\end{array}\right), @@ -1063,7 +1063,7 @@ $$ \mathbf{D}=\mathbf{a}\mathbf{b} $$ -为两矢量 $\pmb{a}$ 与 $\pmb{b}$ 的并矢或二阶张量,因本书用到的张量最高阶为二阶，故将二阶张量简称为张量。若矢量 $\pmb{a}$ 与 $\pmb{b}$ 在基 $\pmb{\underline{{e}}}$ 的坐标阵分别记为 $\underline{{\boldsymbol{a}}}$ 与 $\underbar b$ ,则由式（1.2- 27) +为两矢量 $\pmb{a}$ 与 $\pmb{b}$ 的并矢或二阶张量,因本书用到的张量最高阶为二阶，故将二阶张量简称为张量。若矢量 $\pmb{a}$ 与 $\pmb{b}$ 在基 $\pmb{\underline{{e}}}$ 的坐标阵分别记为 $\underline{{\boldsymbol{a}}}$ 与 $\underline{b}$ ,则由式（1.2- 27) $$ \pmb{{\cal D}}=\underline{{e}}^{\top}\underline{{\alpha}}\,\underline{{b}}^{\top}\underline{{e}}=\underline{{e}}^{\top}\,\underline{{{\cal D}}}\,\underline{{e}} @@ -1081,7 +1081,7 @@ $$ \begin{array}{c}{{{\bf{\cal D}}={a_{1}}\,{b_{1}}\,{e_{1}}\,{e_{1}}+{a_{1}}\,{b_{2}}\,{e_{1}}\,{e_{2}}+{a_{1}}\,{b_{3}}\,{e_{1}}\,{e_{3}}+}}\\ {{{}}}\\ {{{a_{2}}\,{b_{1}}\,{e_{2}}\,{e_{1}}+{a_{2}}\,{b_{2}}\,{e_{2}}\,{e_{2}}+{a_{2}}\,{b_{3}}\,{e_{2}}\,{e_{3}}+}}\\ {{{}}}\\ {{{a_{3}}\,{b_{1}}\,{e_{3}}\,{e_{1}}+{a_{3}}\,{b_{2}}\,{e_{3}}\,{e_{2}}+{a_{3}}\,{b_{3}}\,{e_{3}}\,{e_{3}}}}\end{array} $$ -可见并矢 $\pmb{D}$ 是所有基矢量并矢的线性组合。坐标阵为零阵！的并矢称为零张 +可见并矢 $\pmb{D}$ 是所有基矢量并矢的线性组合。坐标阵为零阵$\underline{0}$的并矢称为零张 量,记为0。坐标阵为单位阵 $\underline{{I}}$ 的并矢称为单位并矢,记为 $\pmb{I}$ 。由式(1.3－4)知 @@ -1104,13 +1104,13 @@ $$ 比较(1.3－3)与式(1.3-7)知,并矢 $\pmb{D}$ 与其共轭并矢 $\hat{\pmb{D}}$ 的坐标阵互为转置 $$ -\underline{{\hat{D}}}=\underline{{D}}^{\mathtt{f}} +\underline{{\hat{D}}}=\underline{{D}}^{\mathtt{T}} $$ -应该指出并矢与矢量基的选取无关。而并矢的坐标阵与矢量基有关。例如,有两个不同的矢量基 $\underline{{\pmb{e}}}^{\prime}$ 与 $\underline{{e}}^{\flat}$ 。并矢 $\pmb{D}$ 在这两个基上的坐标阵分别记为 $\underline{{\boldsymbol{D}}}^{r}$ 与 $\underline{{\boldsymbol{D}}}^{b}$ 。由式(1.3-2)有 +应该指出并矢与矢量基的选取无关。而并矢的坐标阵与矢量基有关。例如，有两个不同的矢量基 $\underline{{\pmb{e}}}^{r}$ 与 $\underline{{e}}^{\flat}$ 。并矢 $\pmb{D}$ 在这两个基上的坐标阵分别记为 $\underline{{\boldsymbol{D}}}^{r}$ 与 $\underline{{\boldsymbol{D}}}^{b}$ 。由式(1.3-2)有 $$ -\pmb{{\cal D}}=\pmb{\underline{{e}}}^{r\mathrm{T}}\pmb{\underline{{D}}}^{r}\ \pmb{\underline{{e}}}^{\prime}=\pmb{\underline{{e}}}^{b\mathrm{T}}\pmb{\underline{{D}}}^{\flat}\pmb{\underline{{e}}}^{b} +\pmb{{\cal D}}=\pmb{\underline{{e}}}^{r\mathrm{T}}\pmb{\underline{{D}}}^{r}\ \pmb{\underline{{e}}}^{r}=\pmb{\underline{{e}}}^{b\mathrm{T}}\pmb{\underline{{D}}}^{\flat}\pmb{\underline{{e}}}^{b} $$ 与矢量阵作为标量阵的拓展一样，以张量为元素的矩阵称为张量阵。例 @@ -1234,7 +1234,7 @@ $$ 由式(1.3-18)知,并矢 $\pmb{D}$ 与矢量 $\pmb{d}$ 的叉积为一并矢，记为 $\pmb{C}$ ，考虑到式(1.2-10)、(1.2-27)、(1.2-30)和(1.3-2)有 $$ -\begin{array}{l}{\pmb{C}=\pmb{D}\times\pmb{d}=\pmb{a}\left(\pmb{b}\times\pmb{d}\right)=\pmb{a}\left(\mathbf{\Sigma}-\pmb{d}\times\pmb{b}\right)}\\ {=\pmb{\underline{{e}}}^{\top}\underline{{a}}\left(-\underline{{\tilde{d}}}\,\underline{{b}}\right)^{\mathrm{T}}\underline{{e}}=\pmb{\underline{{e}}}^{\top}\underline{{a}}\,\underline{{b}}^{\top}\,\underline{{\tilde{d}}}\,\underline{{e}}=\underline{{e}}^{\mathrm{T}}\,\underline{{D}}\,\underline{{\tilde{d}}}\,\underline{{e}}}\end{array} +\begin{array}{l}{\pmb{C}=\pmb{D}\times\pmb{d}=\pmb{a}\left(\pmb{b}\times\pmb{d}\right)=\pmb{a}\left(-\pmb{d}\times\pmb{b}\right)}\\ {=\pmb{\underline{{e}}}^{\top}\underline{{a}}\left(-\underline{{\tilde{d}}}\,\underline{{b}}\right)^{\mathrm{T}}\underline{{e}}=\pmb{\underline{{e}}}^{\top}\underline{{a}}\,\underline{{b}}^{\top}\,\underline{{\tilde{d}}}\,\underline{{e}}=\underline{{e}}^{\mathrm{T}}\,\underline{{D}}\,\underline{{\tilde{d}}}\,\underline{{e}}}\end{array} $$ 将此式与式(1.3－2）比较,有张量式(1.3－18)对应的坐标运算式 @@ -1246,7 +1246,7 @@ $$ 由式(1.3-19)知,矢量 $\pmb{d}$ 与并矢 $\pmb{D}$ 的叉积为一张量，记为 $\pmb{c}$ ,同上面推导，有 $$ -C=d\times D=d\times a b=(\mathbf{\Psi}_{d}\times a\mathbf{\Psi})b=\underline{{e}}^{\top}{\underline{{\hat{d}}}}\underset{=}{\underline{{a}}}\underset{=}{\underline{{b}}}^{\top}\underline{{e}}=\underline{{e}}^{\top}{\underline{{\hat{d}}}}\underset{=}{\underline{{a}}}\underset{=}{\underline{{b}}}^{\top}\underline{{e}}=\underline{{e}}^{\top}{\underline{{\tilde{d}}}}\underset{=}{\underline{{D}}}\underset{=}{\underline{{e}}} +C=d\times D=d\times a b=({d}\times a)b=\underline{{e}}^{\top}{\underline{{\hat{d}}}}\underset{=}{\underline{{a}}}\underset{=}{\underline{{b}}}^{\top}\underline{{e}}=\underline{{e}}^{\top}{\underline{{\hat{d}}}}\underset{=}{\underline{{a}}}\underset{=}{\underline{{b}}}^{\top}\underline{{e}}=\underline{{e}}^{\top}{\underline{{\tilde{d}}}}\underset{=}{\underline{{D}}}\underset{=}{\underline{{e}}} $$ 将此式与式(1.3-2)比较，有张量式(1.3-19)对应的坐标运算式 @@ -1263,7 +1263,7 @@ $$ \mathbf{c}=\mathbf{D}\cdot\mathbf{G} $$ -由式(1.3－2),考虑到式(1.2－23)，上式的右边为 $\pmb{{\cal D}}\cdot\pmb{{\cal G}}=\underline{{{e}}}^{\mathtt{T}}\underline{{{\cal D}}}\:\underline{{{e}}}\cdot\underline{{{e}}}^{\mathtt{T}}\:\underline{{{G}}}\:\underline{{{e}}}=$ $\underline{{e}}^{\mathrm{T}}\underline{{D}}G\,\underline{{e}}.$ ，将此式与式（1.3-2)比较,有张量式(1.3－28)对应的坐标运算式 +由式(1.3－2),考虑到式(1.2－23)，上式的右边为 ${{D}}\cdot{{ G}}=\underline{{{e}}}^{\mathtt{T}}\underline{{{\cal D}}}\:\underline{{{e}}}\cdot\underline{{{e}}}^{\mathtt{T}}\:\underline{{{G}}}\:\underline{{{e}}}=$ $\underline{{e}}^{\mathrm{T}}\underline{{D}}G\,\underline{{e}}.$ ，将此式与式（1.3-2)比较,有张量式(1.3－28)对应的坐标运算式 $$ {\underline{{C}}}=\underline{{D}}\,\underline{{G}} @@ -1278,6 +1278,9 @@ $$ $$ 张量运算 +$$ +\underline{{\underline{{C}}}}=\underline{{\underline{{D}}}}\cdot\underline{{\underline{{d}}}}=\left[\begin{array}{l}{\underline{{D}}_{11}\cdot\pmb{d}_{1}+\pmb{D}_{12}\cdot\pmb{d}_{2}+\pmb{D}_{13}\cdot\pmb{d}_{3}}\\ {\pmb{D}_{21}\cdot\pmb{d}_{1}+\pmb{D}_{22}\cdot\pmb{d}_{2}+\pmb{D}_{23}\cdot\pmb{d}_{3}}\\ {\pmb{D}_{31}\cdot\pmb{d}_{1}+\pmb{D}_{32}\cdot\pmb{d}_{2}+\pmb{D}_{33}\cdot\pmb{d}_{3}}\end{array}\right] +$$ 表1.3-1 张量运算与同一基下坐标阵运算的关系 @@ -1286,15 +1289,13 @@ $$ 对应的坐标阵表达式为 -$$ -\underline{{\underline{{C}}}}=\underline{{\underline{{D}}}}\cdot\underline{{\underline{{d}}}}=\left[\begin{array}{l}{\underline{{D}}_{11}\cdot\pmb{d}_{1}+\pmb{D}_{12}\cdot\pmb{d}_{2}+\pmb{D}_{13}\cdot\pmb{d}_{3}}\\ {\pmb{D}_{21}\cdot\pmb{d}_{1}+\pmb{D}_{22}\cdot\pmb{d}_{2}+\pmb{D}_{23}\cdot\pmb{d}_{3}}\\ {\pmb{D}_{31}\cdot\pmb{d}_{1}+\pmb{D}_{32}\cdot\pmb{d}_{2}+\pmb{D}_{33}\cdot\pmb{d}_{3}}\end{array}\right] -$$ + $$ \underline{{C}}=\left[\begin{array}{l}{\underline{{D}}_{11}\underline{{d}}_{1}+\underline{{D}}_{12}\underline{{d}}_{2}+\underline{{D}}_{13}\underline{{d}}_{3}}\\ {\underline{{D}}_{21}\underline{{d}}_{1}+\underline{{D}}_{22}\underline{{d}}_{2}+\underline{{D}}_{23}\underline{{d}}_{3}}\\ {\underline{{D}}_{31}\underline{{d}}_{1}+\underline{{D}}_{32}\underline{{d}}_{2}+\underline{{D}}_{33}\underline{{d}}_{3}}\end{array}\right] $$ -其中 $\underline{{D}}_{j}$ 与 $\underline{d}_{i}$ 分别为张量 $\pmb{D}_{i j}$ 与矢量 ${\pmb d}_{i}$ 的坐标阵，显然两坐标阵的维数应满足矩阵运算的条件。 +其中 $\underline{{D}}_{ij}$ 与 $\underline{d}_{i}$ 分别为张量 $\pmb{D}_{i j}$ 与矢量 ${\pmb d}_{i}$ 的坐标阵，显然两坐标阵的维数应满足矩阵运算的条件。 利用表1.3－1，我们可将一些矢量计算公式进行变换或可作矩阵运算公式的证明。 @@ -1313,7 +1314,7 @@ $$ 则由式(1.3-20)有 $$ -\ensuremath{\pmb{D}}\cdot\ensuremath{\pmb{d}}=\underline{{\pmb{e}}}^{\mathrm{T}}\underline{{\pmb{D}}}\,\underline{{\pmb{d}}}=\underline{{e}}^{\mathrm{T}}\underline{{\tilde{d}}}\,\underline{{b}} +{\pmb{D}}\cdot{\pmb{d}}=\underline{{\pmb{e}}}^{\mathrm{T}}\underline{{\pmb{D}}}\,\underline{{\pmb{d}}}=\underline{{e}}^{\mathrm{T}}\underline{{\tilde{d}}}\,\underline{{b}} $$ 将此式与式(1.3－30)比较,得到两矢量 $\pmb{d}$ 与 $\pmb{\underline{{a}}}$ 叉积的张量运算的表达形式 @@ -1488,29 +1489,27 @@ $$ # 1.4方向余弦阵 -如前所述,矢量与张量的坐标阵与矢量基有关。对于两个不同的矢量基 $\underline{{\pmb{e}}}^{r}$ 与 $\underline{e}^{b}$ ,由式(1.2-31)和(1.3-9)知,矢量 $\pmb{a}$ 与二阶张量 $\pmb{D}$ 分别可用它们各自在两个基的坐标阵 $\underline{{\pmb{a}}}^{\prime}\setminus\underline{{\pmb{a}}}^{\delta}$ 与 $\underline{{D}}^{r}\,.\underline{{D}}^{\theta}$ 描述。两个坐标阵各自描述同一个量，它们间应存在一定的关系。在讨论此关系前，需先引人方向余弦阵的概念。 +如前所述,矢量与张量的坐标阵与矢量基有关。对于两个不同的矢量基 $\underline{{\pmb{e}}}^{r}$ 与 $\underline{e}^{b}$ ,由式(1.2-31)和(1.3-9)知,矢量 $\pmb{a}$ 与二阶张量 $\pmb{D}$ 分别可用它们各自在两个基的坐标阵 $\underline{{\pmb{a}}}^{r}$、$\underline{{\pmb{a}}}^{b}$ 与 $\underline{{D}}^{r}、\underline{{D}}^{b}$ 描述。两个坐标阵各自描述同一个量，它们间应存在一定的关系。在讨论此关系前，需先引人方向余弦阵的概念。 -对于任意两个不同的矢量基 $\underline{{\pmb e}}^{\prime}$ 与 $\underline{e}^{\flat}$ ，即 +对于任意两个不同的矢量基 $\underline{{\pmb e}}^{r}$ 与 $\underline{e}^{\flat}$ ，即 $$ \underline{{e}}^{r}=(\,e_{1}^{r}\quad\,e_{2}^{r}\quad\,e_{3}^{r}\,)^{\textup{T}}\qquad\underline{{e}}^{b}=(\,e_{1}^{b}\quad\,e_{2}^{b}\quad\,e_{3}^{b}\,)^{\textup{T}} $$ -定义如下 $3\times3$ 方阵为基 $\underline{e}^{\flat}$ 关于基 $\underline{{e}}^{\prime}$ 的方向余弦阵： +定义如下 $3\times3$ 方阵为基 $\underline{e}^{\flat}$ 关于基 $\underline{{e}}^{\prime}$ 的方向余弦阵： 坐标系1基矢量列 乘 坐标系2行 $$ -\underline{{A}}^{\star b}=\underline{{e}}^{r}\cdot\underline{{e}}^{b\mathrm{T}} +\underline{{A}}^{r b}=\underline{{e}}^{r}\cdot\underline{{e}}^{b\mathrm{T}} $$ 展开此式有 $$ -\underline{{\underline{{A}}}}^{r b}\equiv\left\{\begin{array}{l l l}{A_{11}}&{A_{12}}&{A_{13}}\\ {A_{21}}&{A_{22}}&{A_{23}}\\ {A_{31}}&{A_{32}}&{A_{33}}\end{array}\right\}=\left(\begin{array}{l l l}{e_{1}^{r}\cdot e_{1}^{b}}&{e_{1}^{r}\cdot e_{2}^{b}}&{e_{1}^{r}\cdot e_{3}^{b}}\\ {e_{2}^{r}\cdot e_{1}^{b}}&{e_{2}^{r}\cdot e_{2}^{b}}&{e_{2}^{r}\cdot e_{3}^{b}}\\ {e_{3}^{r}\cdot e_{1}^{b}}&{e_{3}^{r}\cdot e_{2}^{b}}&{e_{3}^{r}\cdot e_{3}^{b}}\end{array}\right) +\underline{{{{A}}}}^{r b}\equiv\left\{\begin{array}{l l l}{A_{11}}&{A_{12}}&{A_{13}}\\ {A_{21}}&{A_{22}}&{A_{23}}\\ {A_{31}}&{A_{32}}&{A_{33}}\end{array}\right\}=\left(\begin{array}{l l l}{e_{1}^{r}\cdot e_{1}^{b}}&{e_{1}^{r}\cdot e_{2}^{b}}&{e_{1}^{r}\cdot e_{3}^{b}}\\ {e_{2}^{r}\cdot e_{1}^{b}}&{e_{2}^{r}\cdot e_{2}^{b}}&{e_{2}^{r}\cdot e_{3}^{b}}\\ {e_{3}^{r}\cdot e_{1}^{b}}&{e_{3}^{r}\cdot e_{2}^{b}}&{e_{3}^{r}\cdot e_{3}^{b}}\end{array}\right) $$ -由此不难看出方向余弦阵的三列 $\underline{{A}}_{j}=(A_{1j}\quad A_{2j}\quad A_{3j}\,)^{\mathrm{T}}(j=1,2,3)$ 依次为基 $\underline{e}^{b}$ - -的基矢量 $\pmb{e}_{j}^{b}(j=1,2,3)$ 在 $\underline{{\pmb e}}^{r}$ 上的坐标阵;其三行构成的列阵 $\underline{{\mathbf{A}_{i}}}=(\mathbf{A}_{i1}\quad\,A_{i2}$ $A_{i3}\,\u)^{\intercal}(\,i=1,2,3)$ 依次为基 $\underline{{\pmb{e}}}^{r}$ 的基矢量 $\pmb{e}_{i}^{r}(j=1,2,3)$ 在 $\underline{e}^{b}$ 上的坐标阵。如果式(1.4-2)两边右乘 $\underline{e}^{b}$ ,考虑到式(1.3-5),有 +由此不难看出方向余弦阵的三列 $\underline{{A}}_{j}=(A_{1j}\quad A_{2j}\quad A_{3j}\,)^{\mathrm{T}}(j=1,2,3)$ 依次为基 $\underline{e}^{b}$ 的基矢量 $\pmb{e}_{j}^{b}(j=1,2,3)$ 在 $\underline{{\pmb e}}^{r}$ 上的坐标阵;其三行构成的列阵 $\underline{{\mathbf{A}_{i}}}=(\mathbf{A}_{i1}\quad\,A_{i2}$ $A_{i3})^{\intercal}(\,i=1,2,3)$ 依次为基 $\underline{{\pmb{e}}}^{r}$ 的基矢量 $\pmb{e}_{i}^{r}(j=1,2,3)$ 在 $\underline{e}^{b}$ 上的坐标阵。如果式(1.4-2)两边右乘 $\underline{e}^{b}$ ,考虑到式(1.3-5),有 $$ \underline{{A}}^{\,\!r b}e^{b}=\underline{{e}}^{\prime}\cdot\underline{{e}}^{\,\!b\mathrm{T}}\,\underline{{e}}^{\,\!b}=\underline{{e}}^{r}\cdot\pmb{I} @@ -1519,7 +1518,7 @@ $$ 由于任何矢量与单位张量的点积为其本身式(1.3－25),故有 $$ -\underline{{e}}^{r}=\underline{{A}}^{\star\theta}\underline{{e}}^{b} +\underline{{e}}^{r}=\underline{{A}}^{rb}\underline{{e}}^{b} $$ 同理,且考虑到式(1.4-3),有 @@ -1560,10 +1559,10 @@ $$ 方向余弦阵有如下一些性质： -1. 基 $\underline{e}^{b}$ 关于基 $\underline{{\pmb{e}}}^{\prime}$ 的方向余弦阵与基 $\underline{{e}}^{\prime}$ 关于基 $\pmb{e}^{b}$ 的方向余弦阵互为转置。将(1.4-2)两边转置,考虑到定义(1.4-2),即得到本性质： +1. 基 $\underline{e}^{b}$ 关于基 $\underline{{\pmb{e}}}^{r}$ 的方向余弦阵与基 $\underline{{e}}^{r}$ 关于基 $\underline{\pmb{e}}^{b}$ 的方向余弦阵互为转置。将(1.4-2)两边转置,考虑到定义(1.4-2),即得到本性质： $$ -(\underline{{A}}^{\#}\,)^{\mathrm{T}}=\underline{{e}}^{b}\cdot\underline{{e}}^{r\mathrm{T}}=\underline{{A}}^{b r} +(\underline{{A}}^{rb}\,)^{\mathrm{T}}=\underline{{e}}^{b}\cdot\underline{{e}}^{r\mathrm{T}}=\underline{{A}}^{b r} $$ 2．当两个基的基矢量的方向一致或重合,则它们的方向余弦阵为三阶单位阵。 @@ -1574,7 +1573,7 @@ $$ \underline{{A}}^{r r}=\underline{{I}}_{3} $$ -3.若有三个基 $\underline{e}^{r}\setminus\underline{e}^{b}$ 与 $\underline{{\pmb{e}}}^{*}$ ,其中 $\underline{{\pmb{e}}}^{s}$ 关于 $\underline{{e}}^{\prime}$ 和 $\underline{e}^{\flat}$ 关于 $\underline{{e}}^{*}$ 的方向余弦阵分别为 $\underline{{\boldsymbol{A}}}^{r s}$ 与 $\underline{{A}}^{*b}$ ,有 +3.若有三个基 $\underline{e}^{r}、\underline{e}^{b}$ 与 $\underline{{\pmb{e}}}^{s}$ ,其中 $\underline{{\pmb{e}}}^{s}$ 关于 $\underline{{e}}^{r}$ 和 $\underline{e}^{\flat}$ 关于 $\underline{{e}}^{s}$ 的方向余弦阵分别为 $\underline{{\boldsymbol{A}}}^{r s}$ 与 $\underline{{A}}^{sb}$ ,有 $$ \underline{{{A}}}^{r b}=\underline{{{A}}}^{r s}\underline{{{A}}}^{s b} @@ -1602,10 +1601,10 @@ $$ (\underline{{A}}^{r b}\,)^{\,\cdot\,1}=(\underline{{A}}^{r b}\,)^{\mathrm{T}}=\underline{{A}}^{b r} $$ -5.不同基下矢量坐标阵间的关系式为 +5.不同基下矢量坐标阵间的关系式为 y $$ -\underline{{a}}^{r}=\underline{{\underline{{A}}}}^{r b}\underline{{a}}^{b} +\underline{{a}}^{r}=\underline{{{{A}}}}^{r b}\underline{{a}}^{b} $$ 对于矢量 $\pmb{a}$ ,由式(1.2－28)和(1.2-27)有