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书籍/力学书籍/力学/Flexible Multibody Dynamics (O. A. Bauchau) (Z-Library)/auto/Flexible Multibody Dynamics (O. A. Bauchau) (Z-Library).md

@@ -3123,8 +3123,10 @@ Fig. 3.6. Particle connected to an elastic spring.
 
 Clearly, the situation is similar to that shown in fig. 3.5: the particle is subjected to a central force $\underline{{F}}(r)\,=\,-f(r)\bar{e}_{1}$ . The magnitude of the central force is related to the stretch of the spring, $\varDelta\,=\,r\,-\,r_{0}$ , where $r_{0}$ is the un-stretched length of the spring. For a linearly elastic spring, the force in the spring is proportional to its stretch, $f(r)\,=$ $k(r-r_{0})=k\varDelta$ , where $k$ is the spring stiffness constant. The units of the spring stiffness constant are $\mathrm{N}/\mathrm{m}$ .  
 
-The potential function of the elastic forces in the spring then follows from eq. (3.27) as  
+显然，当前情况与图 3.5 所示的情况类似：粒子受到一个中心力 $\underline{{F}}(r)\,=\,-f(r)\bar{e}_{1}$ 。中心力的模值与弹簧的伸长量相关，伸长量定义为 $\varDelta\,=\,r\,-\,r_{0}$ ，其中 $r_{0}$ 是弹簧的未伸长长度。对于线性弹性弹簧，弹簧中的力与它的伸长量成正比，即 $f(r)\,=$ $k(r-r_{0})=k\varDelta$ ，其中 $k$ 是弹簧刚度系数。弹簧刚度系数的单位是 $\mathrm{N}/\mathrm{m}$ 。
 
+The potential function of the elastic forces in the spring then follows from eq. (3.27) as  
+弹性力势函数则可从公式 (3.27) 推导如下：
 $$
 V(r)={\frac{1}{2}}k\;\varDelta^{2}.
 $$  
@@ -3141,10 +3143,22 @@ Next, the set of external forces that maintained the steady deformation $\varDel
 
 Both kinetic and strain energy functions are positive-definite functions, i.e., $K=$ $1/2\:m v^{2}>0$ for any arbitrary speed of the particle $v\neq0$ and $V=1/2\;k\varDelta^{2}>0$ for any stretch of the elastic spring $\varDelta\neq0$ . Consider a strain energy function of the form $\dot{V}\,=\,1/2\,\,k_{0}\varDelta^{2}+1/3\,\,\dot{k}_{1}\varDelta^{3}$ ; this strain energy function vanishes for $\varDelta_{\mathrm{cr}}\,=$ $-3/2\,k_{0}/k_{1}$ . For stretches $\varDelta<\varDelta_{\mathrm{cr}}$ , the strain energy becomes negative, hence this strain energy function is invalid because it is not positive-definite. For $\varDelta<\varDelta_{\mathrm{cr}}$ , the spring will add energy to the system; energy is being created, a physical impossibility for a passive device.  
 
+本工作函数通常被称为弹性弹簧的应变能函数。
+
+当前的公式不仅限于线性弹性弹簧：弹簧中的弹性力大小可以是拉伸的非线性函数，例如 $f(r)\,=\,k_{1}\varDelta\,+\,k_{3}\varDelta^{3}$ 。在这种情况下，非线性弹性弹簧的应变能函数为 $V=1/2\;k_{1}\varDelta^{2}+1/4\;k_{3}\varDelta^{4}$ 。
+
+工作与能量原理提供了一种描述粒子动力学的手段，它用能量来代替位移和加速度。考虑图 3.6 所示的系统。在时间 $t_{0}$ 时，粒子处于静止状态，弹簧未拉伸：粒子的速度为零，这意味着 $K_{0}\,=\,0$ ，并且 $V_{0}\,=\,0$ ，因为弹簧未拉伸。施加外部力作用于粒子，使其在时间 $t_{1}$ 时达到新的静止构型，因此 $K_{1}=0$ 。由于系统是保守的，外部力所做的功为 $W_{0\to1}^{\mathrm{ext}}\,=\,E_{1}\,-\,E_{0}\,=\,V_{1}$ 。对于这个简单的例子，工作与能量原理意味着外部施加力所做的功等于弹簧中的应变能。这种功以应变能的形式储存在系统中：没有能量损失，但其性质已从势能转变为应变能。
+
+在这个描述中，粒子从时间 $t_{0}$ 到时间 $t_{1}$ 的轨迹无关紧要；唯一重要的量是弹簧在时间 $t_{1}$ 时的拉伸量 $\varDelta_{1}$ ，它决定了应变能 $V_{1}$ 。这是保守力的一个特征：它们所做的功不取决于从时间 $t_{0}$ 到 $t_{1}$ 遵循的特定路径，而仅仅取决于决定弹簧初始和最终拉伸的系统的初始和最终构型。
+
+接下来，维持弹簧稳态变形 $\varDelta_{1}$ 的外部力系被释放；粒子沿特定轨迹演化，并在时间 $t_{2}$ 时，弹簧的拉伸量为零，$\varDelta_{2}\,=\,0$ 。由于在时间 $t_{1}$ 和 $t_{2}$ 之间没有施加外部力，工作与能量原理意味着 ${\cal W}_{1\to2}^{\mathrm{ext}}\,=\,0\,=\,$ $E_{2}-E_{1}=K_{2}-V_{1}$ ，其中 $K_{2}$ 是粒子在时间 $t_{2}$ 时的动能。没有能量损失：能量从应变能转化为动能，$K_{2}=V_{1}$ 。粒子在时间 $t_{2}$ 时的速度 $v_{2}$ 为 $v_{2}=\sqrt{k/m}\;\varDelta_{1}$ 。再次，粒子所遵循的具体轨迹无关紧要。
+
+动能和应变能函数都是正定函数，即 $K=$ $1/2\:m v^{2}>0$ 对于任何任意速度的粒子 $v\neq0$ 并且 $V=1/2\;k\varDelta^{2}>0$ 对于任何弹簧的拉伸量 $\varDelta\neq0$ 。考虑一种形式的应变能函数 $\dot{V}\,=\,1/2\,\,k_{0}\varDelta^{2}+1/3\,\,\dot{k}_{1}\varDelta^{3}$ ；当 $\varDelta_{\mathrm{cr}}\,=$ $-3/2\,k_{0}/k_{1}$ 时，此应变能函数为零。对于 $\varDelta<\varDelta_{\mathrm{cr}}$ ，应变能变为负，因此此应变能函数无效，因为它不是正定的。对于 $\varDelta<\varDelta_{\mathrm{cr}}$ ，弹簧会向系统添加能量；能量正在被创造，这对于被动设备来说是物理上不可能的。
+
 #### The strain energy function of a torsional spring  
 
 Consider the planar problem depicted in fig. 3.7: a particle of mass $m$ is connected to a rigid rod of length $\ell$ . The rod pivots about inertial point O, where a torsional spring of stiffness constant $k$ is located. The torsional spring applies a moment to the rigid rod about point O, which is then transmitted to the particle in the form of a force $\underline{{F}}_{:}$ , acting in the direction normal to the rod; this force is clearly not a central force. The position of the particle will be represented by polar coordinates, $r$ and $\theta$ , see section 2.7.1. The velocity of the particle is $\underline{{v}}\;=\;\dot{r}~\bar{e}_{1}\:+\:r\dot{\theta}~\bar{e}_{2}$ , see eq. (2.91b). Because the rod is rigid, $\dot{r}=0$ , and multiplying the velocity relationship by $\mathrm{d}t$ implies $\underline{{\mathrm{d}}}\underline{{r}}=\ell\mathrm{d}\theta\;\bar{e}_{2}$ . The force vector, $\underline{{F}}$ , has a line of action along $\bar{e}_{2}$ and its magnitude is a function of the sole angle $\theta:\underline{{F}}=-f(\theta)\bar{e}_{2}$ . The differential work done by this force now becomes  
-
+考虑图 3.7 中所示的平面问题：一个质量为 $m$ 的粒子通过一根长度为 $\ell$ 的刚性杆连接。该杆绕惯性点 O 旋转，惯性点 O 处有一个扭转弹簧，扭转系数为 $k$。扭转弹簧对刚性杆施加一个关于点 O 的扭矩，该扭矩随后以力 $\underline{{F}}_{:}$ 的形式传递给粒子，该力作用于与杆垂直的方向；显然，这并非一种中心力。粒子的位置将用极坐标 $r$ 和 $\theta$ 表示，见第 2.7.1 节。粒子的速度为 $\underline{{v}}\;=\;\dot{r}~\bar{e}_{1}\:+\:r\dot{\theta}~\bar{e}_{2}$ ，见公式 (2.91b)。由于杆是刚性的，$\dot{r}=0$，将速度关系乘以 $\mathrm{d}t$ 得到 $\underline{{\mathrm{d}}}\underline{{r}}=\ell\mathrm{d}\theta\;\bar{e}_{2}$ 。力矢量 $\underline{{F}}$ 的作用线沿 $\bar{e}_{2}$ 方向，其大小是唯一角度 $\theta$ 的函数：$\underline{{F}}=-f(\theta)\bar{e}_{2}$ 。现在，由该力所做的微分功为
 ![](6fc7ef2a3c96ed9a35e76746df6f58d5374ff193608f00ac2c0c9d4acd500808.jpg)  
 Fig. 3.7. Particle subjected to a force generated by a torsional spring.  
 
@@ -3153,18 +3167,18 @@ $$
 $$  
 
 Clearly, $M(\theta)=\ell f(\theta)$ is the moment the torsional spring applies to the rigid rod and hence, $\mathrm{d}W=-M(\theta)\mathrm{d}\theta$ . For a linearly elastic torsional spring, $M(\theta)=k(\theta-\theta_{0})$ , where $\theta_{0}$ is the angular position of the rigid rod for which the torsional spring is unstretched. The units for the stiffness constant $k$ are N·m/rad. The potential function for the torsional spring now becomes  
-
+显然，$M(\theta)=\ell f(\theta)$ 是扭转弹簧施加在刚性杆上的力矩，因此，$\mathrm{d}W=-M(\theta)\mathrm{d}\theta$。对于线性弹性扭转弹簧，$M(\theta)=k(\theta-\theta_{0})$，其中 $\theta_{0}$ 是刚性杆的角位置，此时扭转弹簧处于无拉伸状态。刚度常数 $k$ 的单位是 N·m/rad。扭转弹簧的势函数现在变为
 $$
 V(\theta)=\frac{1}{2}\;k(\theta-\theta_{0})^{2}.
 $$  
 
 This potential function is called the strain energy function of the torsional spring. It is also possible to define nonlinearly elastic torsional springs, for which the elastic moment is a nonlinear function of angle $\theta$ ; for instance, if $M(\theta)~~=~~k_{1}(\theta~-~\theta_{0})~+~k_{3}(\theta~-~\theta_{0})^{3}$ , the strain energy function is then  
-
+这个势函数被称为扭转弹簧的应变能函数。 也可以定义非线性弹性扭转弹簧，其弹性弯矩是角度 $\theta$ 的非线性函数；例如，如果 $M(\theta)~~=~~k_{1}(\theta~-~\theta_{0})~+~k_{3}(\theta~-~\theta_{0})^{3}$ ，那么应变能函数则为
 $$
 V(\theta)=k_{1}(\theta-\theta_{0})^{2}/2+k_{3}(\theta-\theta_{0})^{4}/4.
 $$  
 
-# 3.2.3 Non-conservative forces  
+### 3.2.3 Non-conservative forces  
 
 ![](9cda79e95b811606ba414f470fe19af768d2fc51dfe0b94c3e06faa5dcc032e1.jpg)  
 Fig. 3.8. Particle connected to a dashpot.  
@@ -3177,6 +3191,13 @@ If the position of the particle is expressed in terms of spherical coordinates,
 
 The work done by the viscous forces in the dashpot is  
 
+现在考虑一个质量为 $m$ 的粒子，它通过一个直线阻尼器连接；阻尼器的另一端连接到一个惯性点 $\mathbf{o}$ ，如图 3.8 所示。阻尼器可以轴向滑动，并且质量可以忽略不计；实际上，这意味着它的质量与粒子的质量相比可以忽略不计。
+
+对于线性阻尼器，它产生的粘性力的大小与它的长度随时间的变化率成正比，即 $f({\dot{r}})=c{\dot{r}}$ 。系数 $c$ 被称为阻尼系数，其单位是 $\mathrm{N}{\cdot}\mathrm{s}/\mathrm{m}$ 。 尽管阻尼器产生的力的作用线通过惯性点，但它不是一个中心力，因为它的大小不取决于粒子和惯性点之间的距离。
+
+如果粒子的位置用球坐标表示，那么微分位移就是 $\mathrm{d}\underline{{r}}=\mathrm{d}r\;\bar{e}_{1}+r\mathrm{d}\phi\;\bar{e}_{2}+r\mathrm{d}\theta\sin\phi\;\bar{e}_{3}$ 。阻尼器力所做的微分功现在变为 $\mathrm{d}W=\underline{{F}}^{T}\mathrm{d}\underline{{r}}=-f(\dot{r})\bar{e}_{1}^{T}(\mathrm{d}r\ \bar{e}_{1}+$ $r\mathrm{d}\phi\,\bar{e}_{2}+r\mathrm{d}\theta\sin\phi\,\bar{e}_{3})=-c\dot{r}\,\mathrm{d}r$ 。 由于粘性力依赖于 $\dot{r}$，微分功不能写成一个全微分的形式；不存在一个势函数 $V(r)$，使得 $\mathrm{d}V/\mathrm{d}r=-c\dot{r}\mathrm{d}r$ 。阻尼器中的力是一个非保守力。
+
+阻尼器中粘性力所做的功是
 $$
 W_{t_{i}\to t_{f}}=-\int_{t_{i}}^{t_{f}}c{\dot{r}}\,\mathrm{d}r=-\int_{t_{i}}^{t_{f}}c{\dot{r}}{\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}}\,\mathrm{d}t=-\int_{t_{i}}^{t_{f}}c{\dot{r}}^{2}\,\mathrm{d}t<0.
 $$  
@@ -3186,6 +3207,11 @@ The presence of the $\dot{r}^{2}$ term implies that the work done by the viscous
 Of course, dashpots are not always linear; the magnitude of the viscous force could be a nonlinear function of velocity, such as $f(\dot{r})=c_{1}\dot{r}+c_{3}\dot{r}^{3}$ , for instance. Function $f(\dot{\boldsymbol{r}})\dot{\boldsymbol{r}}$ , however, must be a positive-definite function of $\dot{r}$ to guarantee the dissipative nature of the resulting viscous force.  
 
 Finally, it is also possible to encounter torsional dashpots; in fig. 3.7, the torsional spring would be replaced by a dashpot that applies to the rigid bar a moment whose magnitude is a function of the time rate of change of angle $\theta$ . The differential work done by the viscous forces in the torsional is then $\mathrm{d}W=-\ell f(\dot{\theta})\mathrm{d}\theta=-M(\dot{\theta})\mathrm{d}\theta$ ; for a linear torsional dashpot, $M({\dot{\theta}})=c{\dot{\theta}}$ , where the dashpot constant now has units of $\mathbf{N}{\cdot}\mathbf{m}{\cdot}\mathbf{s}$ .  
+$\dot{r}^{2}$ 项的存在意味着粘性力所做的功始终为负，即它们是耗散力。对于图 3.8 中所示的系统，工作与能量原理表明 $W_{t_{i}\rightarrow t_{f}}\,=\,E_{f}\,-\,E_{i}$ ，或者 $E_{f}\,=\,E_{i}\,+$ $W_{t_{i}\to t_{f}}$ 。由于功为负量，系统的总机械能随时间单调递减；此外，总机械能的变化正好等于阻尼器中粘性力所做的功。这一结果解释了用来描述阻尼器中粘性力的“耗散力”或“非保守力”一词。
+
+当然，阻尼器并非总是线性的；粘性力的幅度可能是速度的非线性函数，例如 $f(\dot{r})=c_{1}\dot{r}+c_{3}\dot{r}^{3}$ 。然而，函数 $f(\dot{\boldsymbol{r}})\dot{\boldsymbol{r}}$ 必须是 $\dot{r}$ 的正定函数，以保证由此产生的粘性力的耗散特性。
+
+最后，也可能遇到扭转阻尼器；在图 3.7 中，扭转弹簧将被一个阻尼器取代，该阻尼器对刚性杆施加一个力矩，其大小是角度 $\theta$ 随时间变化率的函数。扭转阻尼器中粘性力所做的微分功为 $\mathrm{d}W=-\ell f(\dot{\theta})\mathrm{d}\theta=-M(\dot{\theta})\mathrm{d}\theta$；对于线性扭转阻尼器，$M({\dot{\theta}})=c{\dot{\theta}}$ ，其中阻尼器常数的单位现在为 $\mathbf{N}{\cdot}\mathbf{m}{\cdot}\mathbf{s}$ 。
 
 # The energy closure equation