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Date: Sun, 23 Feb 2025 22:30:12 +0800
Subject: [PATCH] 1

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@@ -1698,13 +1698,13 @@ $$
 引人如下一对 $3\times4$ 的矩阵，它们在四元数的运算中将经常用到：  
 
 $$
-\underline{{R}}\,\frac{\mathrm{d}\mathbf{e}^{\mathrm{f}}}{\mathrm{~\boldmath~\displaystyle~}\mathbf{\ensuremath{\underline{{{R}}}}~}}(\mathbf{\ensuremath{-}}\,\underline{{\lambda}}\,\underline{{\tilde{\lambda}}}+\lambda_{0}\,\underline{{I}}_{3}\,)=\left(\begin{array}{c c c c}{-\,\lambda_{1}}&{\,\lambda_{0}}&{\,\cdots\,\lambda_{3}}&{\,\lambda_{2}}\\ {-\,\lambda_{2}}&{\,\lambda_{3}}&{\,\lambda_{0}}&{\,-\,\lambda_{1}}\\ {-\,\lambda_{3}}&{-\,\lambda_{2}}&{\,\lambda_{1}}&{\,\lambda_{0}}\end{array}\right)
+\underline{{R}}\,\frac{\mathrm{d}\mathbf{e}{\mathrm{f}}}{}(\mathbf{{-}}\,\underline{{\lambda}}\,\underline{{\tilde{\lambda}}}+\lambda_{0}\,\underline{{I}}_{3}\,)=\left(\begin{array}{c c c c}{-\,\lambda_{1}}&{\,\lambda_{0}}&{\,-\,\lambda_{3}}&{\,\lambda_{2}}\\ {-\,\lambda_{2}}&{\,\lambda_{3}}&{\,\lambda_{0}}&{\,-\,\lambda_{1}}\\ {-\,\lambda_{3}}&{-\,\lambda_{2}}&{\,\lambda_{1}}&{\,\lambda_{0}}\end{array}\right)
 $$  
 
 与  
 
 $$
-\underline{{L}}\frac{\mathrm{d}\mathbf{e}\mathrm{~}}{\mathrm{~}}(\mathbf{\Sigma}-\underline{{\lambda}}\quad-\underline{{\Tilde{\lambda}}}+\lambda_{0}\underline{{I}}_{3})=\left(\begin{array}{l l l l l}{-\,\lambda_{1}}&{\,\lambda_{0}}&{\,\lambda_{3}}&{\,-\,\lambda_{2}}\\ {-\,\lambda_{2}}&{\,-\,\lambda_{3}}&{\,\lambda_{0}}&{\,\lambda_{1}}\\ {-\,\lambda_{3}}&{\,\lambda_{2}}&{\,-\,\lambda_{1}}&{\,\lambda_{0}}\end{array}\right)
+\underline{{L}}\frac{\mathrm{d}\mathbf{e}\mathbf{f}\mathrm{~}}{\mathrm{~}}(\mathbf{}-\underline{{\lambda}}\quad-\underline{\tilde{{\lambda}}}+\lambda_{0}\underline{{I}}_{3})=\left(\begin{array}{l l l l l}{-\lambda_{1}}&{\,\lambda_{0}}&{\,\lambda_{3}}&{\,-\lambda_{2}}\\ {-\lambda_{2}}&{\,-\lambda_{3}}&{\,\lambda_{0}}&{\,\lambda_{1}}\\ {-\lambda_{3}}&{\,\lambda_{2}}&{\,\lambda_{1}}&{\,\lambda_{0}}\end{array}\right)
 $$  
 
 由式(1.5-1)和(1.5-6)计算下式,考虑到式(1.5-4),有  
@@ -1716,7 +1716,7 @@ $$
 同理有  
 
 $$
-\underline{{\mathbf{\delta}L}}\underline{{\mathbf{\delta}\underline{{\mathbf{\delta}}}}}=\underline{{\mathbf{0}}}
+\underline{{L}}\,\underline{{\Lambda}}=\underline{{\mathbf{0}}}
 $$  
 
 由式(1.5-8)和(1.5-9)知,矩阵 $\underline{{R}}$ 与 $\underline{{\boldsymbol{L}}}$ 的各行分别与四元数 $\underline{{\boldsymbol{\Lambda}}}$ 正交。此外，直接计算且考虑式(1.5－2)可知,矩阵 $\underline{{R}}$ 与 $\underline{{\boldsymbol{L}}}$ 的行各自分别相互单位正交,即有  
@@ -1864,21 +1864,21 @@ $$
 ![](images/ac0fb9479813360f9083377eba9d5d5ee32e4701cbf54bc8b40fb1e94b2a4200.jpg)  
 图2-1 连体基  
 
-在基点 $C$ 定义一个与 $\underline{{e}}^{\prime}$ 平行的辅助参考基 $\underline{e}^{\mathrm{\scriptscriptstyles}}\,,\underline{e}^{\flat}$ 相对于 $\underline{{e}}^{\prime}$ 的姿态与 $\pmb{e}_{-}^{b}$ 相对于 $\underline{{\pmb{e}}}^{s}$ 的姿态一致。因此,在研究 $\underline{e}^{\boldsymbol{\theta}}$ 相对于 $\underline{{e}}^{\prime}$ 的姿态时，可不考虑基点的移动。  
+在基点 $C$ 定义一个与 $\underline{{e}}^{\prime}$ 平行的辅助参考基 $\underline{e}^s\,,\underline{e}^{\flat}$ 相对于 $\underline{{e}}^{\prime}$ 的姿态与 $\pmb{e}_{-}^{b}$ 相对于 $\underline{{\pmb{e}}}^{s}$ 的姿态一致。因此,在研究 $\underline{e}^b$ 相对于 $\underline{{e}}^{\prime}$ 的姿态时，可不考虑基点的移动。  
 
 # 2.2 刚体的有限转动  
 
 # 2.2.1 欧拉定理  
 
-刚体绕某定点由某位置至另一位置的有限角位移称为刚体的有限转动。欧拉定理是关于刚体有限转动的重要定理，叙述如下：刚体绕定点的任意有限转动可由绕过该点某根轴的一次有限转动实现。  
+**刚体绕某定点由某位置至另一位置的有限角位移称为刚体的有限转动**。**欧拉定理是关于刚体有限转动的重要定理，叙述如下：刚体绕定点的任意有限转动可由绕过该点某根轴的一次有限转动实现。**  
 
-事实上，令刚体作有限转动前后两个基分别记为 $\pmb{\mathcal{E}}^{\prime}$ 与 $\underline{{e}}^{\flat}$ 。由1.4的性质9知,对于它们的方向余弦阵 $\underline{{\boldsymbol{A}}}^{\star}$ 总存在一个特征向量 $\pmb{p}$ ,它在两基上的坐标阵相  
+事实上，令刚体作有限转动前后两个基分别记为 $\underline{\pmb{e}}^{\prime}$ 与 $\underline{\pmb{e}}^{b}$ 。由1.4的性质9知,对于它们的方向余弦阵 $\underline{{\boldsymbol{A}}}^{\star}$ 总存在一个特征向量 $\pmb{p}$ ,它在两基上的坐标阵相  
 
 等。这意味着若基 $\underline{{\pmb{e}}}^{\prime}$ 绕该向量 $\pmb{p}$ 转过某角可与基 $\underline{{e}}^{b}$ 重合，从而证明了欧拉定理。  
 
 # 2.2.2 有限转动张量  
 
-刚体的连体基绕某单位矢量 $\pmb{p}$ 旋转 $\theta$ 角,由 $\underline{{\pmb{e}}}^{r}$ 所在的位置到达 $\underline{{e}}^{b}$ 所在的位置。固定于刚体的任意一个矢量 $\pmb{a}$ 也随着连体基由位置 ${\pmb a}_{0}$ 到达 $\pmb{\Bigg\alpha}$ 。过 ${\pmb{a}}_{0}$ 与 $\pmb{a}$ 的矢端 $\mathbf{{\cal{P}}_{\vartheta}}$ 与 $P$ 作平面垂直于矢径 $\pmb{p}$ 于 $O_{1}$ 点。从 $P$ 作 $O_{1}P_{0}$ 的垂线交于 $\boldsymbol{\mathsf{Q}}$ (图2-2)。由此可知  
+刚体的连体基绕某单位矢量 $\pmb{p}$ 旋转 $\theta$ 角,由 $\underline{{\pmb{e}}}^{r}$ 所在的位置到达 $\underline{{e}}^{b}$ 所在的位置。固定于刚体的任意一个矢量 $\pmb{a}$ 也随着连体基由位置 ${\pmb a}_{0}$ 到达 $\pmb{\alpha}$ 。过 ${\pmb{a}}_{0}$ 与 $\pmb{a}$ 的矢端 $\mathbf{{\cal{P}}_{\vartheta}}$ 与 $P$ 作平面垂直于矢径 $\pmb{p}$ 于 $O_{1}$ 点。从 $P$ 作 $O_{1}P_{0}$ 的垂线交于 $\boldsymbol{\mathsf{Q}}$ (图2-2)。由此可知  
 
 $$
 {\pmb a}={\pmb a}_{0}+\overrightarrow{P_{0}\,Q}+\overrightarrow{Q P}