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16ce7f4498
@ -53,20 +53,22 @@ Figure 1 (a) shows the blade rotating in the rotor plane. The $Y\cdot$ -axis of
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Figure 1 (b) shows a cross section of the blade looking outward along the ˆz-axis. The position of the blade is described in the $(x,\,y,\,z)$ -frame, which is rotated $\beta$ (the pitch angle) around the $\hat{z}$ -axis. The elastic principle $(\eta,\,\xi)$ -axis of each blade section, is rotated the angle ${\bar{\theta}}+{\bar{\theta}}$ relative to the $(x,\,z)$ -plane, where $\tilde{{\boldsymbol{\theta}}}=\tilde{{\boldsymbol{\theta}}}\bar{(\mathbf{s})}$ is the pre-twist of the elastic properties and $\theta=\theta(s,\,t)$ is the time-dependent twist of the blade section.
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该系统由一个旋转且不可伸长的叶片组成，具有挥舞、摆振和扭转自由度。叶片暴露于变桨动作、变化的转轮速度和非保守力（例如，气动力）。转轮速度与一个扭矩和一个转动惯量相关，描述了不含齿轮和驱动系统柔顺性的发电机和驱动系统。变桨动作与一个变桨力矩相关，提供了通过变桨力矩控制变桨或监测具有规定变桨的变桨力矩的可能性。
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该系统由一个旋转的不可伸缩叶片组成，具有挥舞、摆振和扭转自由度。叶片受到变桨作用、变化的风轮转速和非保守力（例如气动力）的影响。风轮转速与扭矩和转动惯量相关联，描述了不包括齿轮传动和传动链柔性的发电机和传动链。变桨力矩与变桨作用相关联，提供了通过变桨力矩控制变桨或监测具有预设变桨的变桨力矩的可能性。
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该系统不包括来自塔架和偏航运动的影响、驱动系统柔顺性、预锥叶片、主轴倾斜和翘曲。叶片的剪切中心\*和张力中心†被假设重合。这些简化是合理的，因为重点是分析变桨叶片相互作用，而不是提供风电机组的完整描述。
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该系统不包括塔架和偏航运动、传动链柔性、预锥叶片、主轴倾斜和翘曲的影响。叶片的剪切中心\*和拉伸中心†被假定重合。这些简化是合理的，因为重点在于分析变桨叶片相互作用，而不是提供风电机组的完整描述。
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图 1 (a) 显示了叶片在转轮平面内旋转。$(X,\,Y,\,Z)$坐标系的$Y\cdot$轴指向迎风方向，$(X,Z)$轴展向转轮平面，$Z$轴指向上方。由于假设塔顶和偏航位置固定，$(X,\,Y,\,Z)$坐标系成为惯性坐标系。$(\hat{x},\hat{y},\hat{z})$坐标系与轮毂一起旋转，使得$\hat{z}\cdot$轴与叶片的变桨轴$p i$对齐，$\hat{y}$轴与Y轴对齐。这两个坐标系之间的角度表示为$\phi$（风轮的方位角）。
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图1 (a) 显示了叶片在风轮平面内旋转。$(X,\,Y,\,Z)$ 坐标系的 $Y\cdot$ 轴指向顺风方向，且 $(X,Z)$ 轴展向风轮平面，其中 $Z$ 轴指向上方。由于塔顶和偏航位置被假定为固定，$(X,\,Y,\,Z)$ 坐标系成为惯性坐标系。$(\hat{x},\hat{y},\hat{z})$ 坐标系随轮毂旋转，使得 $\hat{z}\cdot$ 轴与叶片的变桨轴 $p i$ 对齐，且 $\hat{y}$ 轴与 $Y$ 轴对齐。两个坐标系之间的角度表示为 $\phi$（风轮的方位角）。
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图1 (b) 显示了沿 $\hat{z}$ 轴向外看的叶片横截面。叶片的位置在 $(x,\,y,\,z)$ 坐标系中描述，该坐标系绕 $\hat{z}$ 轴旋转了 $\beta$（变桨角度）。每个叶片截面的弹性主 $(\eta,\,\xi)$ 轴相对于 $(x,\,z)$ 平面旋转了角度 ${\bar{\theta}}+{\tilde{\theta}}$，其中 $\tilde{{\boldsymbol{\theta}}}=\tilde{{\boldsymbol{\theta}}}\bar{(\mathbf{s})}$ 是弹性特性的预扭角，且 $\theta=\theta(s,\,t)$ 是叶片截面的时变扭角。
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图 1 (b) 显示了沿$\hat{z}$轴向外的叶片截面图。叶片的位置在$(x,\,y,\,z)$坐标系中描述，该坐标系绕$\hat{z}$轴旋转了$\beta$（变桨角度）。每个叶片截面的弹性主轴 $(\eta,\,\xi)$ 坐标系，相对于 $(x,\,z)$ 平面旋转了 ${\bar{\theta}}+{\bar{\theta}}$ 角度，其中 $\tilde{{\boldsymbol{\theta}}}=\tilde{{\boldsymbol{\theta}}}\bar{(\mathbf{s})}$ 是弹性特性的预扭角，$\theta=\theta(s,\,t)$ 是叶片截面的随时间变化的扭角。
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The position of the elastic axis ea in the $(x,\ y,\ z)$ -frame is given by $(u+l_{p i},\,\nu,\,w)$ , where $u=u(s,\,t)$ and $\nu=\nu(s,\,t)$ are the deflection from the undeformed position in the $x\cdot$ - and $y_{\mathrm{~\,~}}$ -direction, respectively, and $l_{p i}=$ $l_{p i}(s)$ is the undeformed position of ea on the $x$ -axis. The position in the $z$ -direction is given by $w=\int_{r}^{s}\sqrt{\left(1-\left(l_{p i}^{\prime}+u^{\prime}\right)^{2}-{\nu^{\prime}}^{2}\right)}\mathrm{d}s,$ , based on the inextensibility of the blade. The $\boldsymbol{w}$ coordinate is split into a static part $w_{0}=\int_{r}^{s}\sqrt{1-l_{p i}^{\prime2}}\,\mathrm{d}s$ and an approximation to the time-dependent part $\begin{array}{r}{w_{1}\!=-\!\frac{1}{2}\!\int_{r}^{s}\sqrt{{u^{\prime}}^{2}+{\nu^{\prime}}^{2}+2l_{p i}^{\prime}u^{\prime}}\mathrm{d}s}\end{array}$ . The independent variables $t$ and $s$ are the time and the distance from the root of the blade measured along $e a$ , respectively. The radius of the hub is $r$ and the radius of the rotor is $R$ , measured along the elastic axis.
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在 $(x,\ y,\ z)$ 坐标系中，弹性轴 ea 的位置由 $(u+l_{p i},\,\nu,\,w)$ 给出，其中 $u=u(s,\,t)$ 和 $\nu=\nu(s,\,t)$ 分别是相对于未变形位置在 $x$ 和 $y$ 方向上的变形，而 $l_{p i}=$ $l_{p i}(s)$ 是 ea 在 $x$ 轴上的未变形位置。在 $z$ 方向上的位置由 $w=\int_{r}^{s}\sqrt{\left(1-\left(l_{p i}^{\prime}+u^{\prime}\right)^{2}-{\nu^{\prime}}^{2}\right)}\mathrm{d}s$ 给出，基于叶片不可伸长的条件。$\boldsymbol{w}$ 坐标被分解为静态部分 $w_{0}=\int_{r}^{s}\sqrt{1-l_{p i}^{\prime2}}\,\mathrm{d}s$ 和对随时间变化的量的近似值 $\begin{array}{r}{w_{1}\!=-\!\frac{1}{2}\!\int_{r}^{s}\sqrt{{u^{\prime}}^{2}+{\nu^{\prime}}^{2}+2l_{p i}^{\prime}u^{\prime}}\mathrm{d}s}\end{array}$ 。 独立的变量 $t$ 和 $s$ 分别是时间以及沿 $e a$ 测量的从根到距离，叶轮的半径为 $R$，
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弹性轴 ea 在 $(x,\ y,\ z)$ 坐标系中的位置由 $(u+l_{p i},\,\nu,\,w)$ 给出，其中 $u=u(s,\,t)$ 和 $\nu=\nu(s,\,t)$ 分别是相对于未变形位置在 $x$ 方向和 $y$ 方向上的变形，并且 $l_{p i}=$ $l_{p i}(s)$ 是 ea 在 $x$ 轴上的未变形位置。在 $z$ 方向上的位置由 $w=\int_{r}^{s}\sqrt{\left(1-\left(l_{p i}^{\prime}+u^{\prime}\right)^{2}-{\nu^{\prime}}^{2}\right)}\mathrm{d}s,$ 给出，基于叶片的不可伸长性。$\boldsymbol{w}$ 坐标被分解为一个静态部分 $w_{0}=\int_{r}^{s}\sqrt{1-l_{p i}^{\prime2}}\,\mathrm{d}s$ 和一个时间相关部分的近似值 $\begin{array}{r}{w_{1}\!=-\!\frac{1}{2}\!\int_{r}^{s}\sqrt{{u^{\prime}}^{2}+{\nu^{\prime}}^{2}+2l_{p i}^{\prime}u^{\prime}}\mathrm{d}s}\end{array}$ 。独立变量 $t$ 和 $s$ 分别是时间以及沿着 ea 测量的从叶片根部量起的距离。轮毂的半径是 $r$，风轮的半径是 $R$，沿弹性轴测量。
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Figure 1. (a) The inertial $\left(X,\,Y,\,Z\right)$ -frame and the rotating $(\hat{x},\hat{y},\hat{z})$ -frame with the ˆz-axis aligned with the pitch axis of the blade. The external forces $(f_{w}\,f_{\nu},f_{w})$ act at the elastic axis in the $(\hat{x},\,\hat{y},\,\hat{z})$ -directions, respectively. (b) Cross section of the blade looking outward along the $\hat{z}$ -axis
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图 1. (a) 惯性坐标系 (X, Y, Z) 和旋转坐标系 (ˆx, ˆy, ˆz)，其中ˆz轴与叶片变桨角度轴对齐。外力 (f<sub>w</sub>, f<sub>ν</sub>, f<sub>w</sub>) 分别沿 (ˆx, ˆy, ˆz) 方向作用于弹性轴。(b) 沿 ˆz 轴向外看的叶片截面
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图1. (a) 惯性坐标系$\left(X,\,Y,\,Z\right)$和旋转坐标系$(\hat{x},\hat{y},\hat{z})$，其中$\hat{z}$轴与叶片的变桨轴对齐。外部力$(f_{w}\,f_{\nu},f_{w})$分别沿$(\hat{x},\,\hat{y},\,\hat{z})$方向作用在弹性轴上。(b) 沿$\hat{z}$轴向外看的叶片横截面
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The sum of rotational inertia of the hub, gearbox and generator is described by $J_{g e n}$ . The inertia of the blade is described by a concentrated mass $m=m(s)$ and a moment of rotational inertia $I_{c g}=I_{c g}(s)$ (for rotation in the cross section plane) for each blade section, both related to the center of gravity $c g$ . The center of gravity is assumed to be located on the chord, the distance $l_{c g}=l_{c g}(s)$ from ea. The chord is rotated, the angle ${\overline{{\theta}}}+\theta$ relative to the $(x,z)$ -plane, where $\overline{{\theta}}=\overline{{\theta}}(\mathrm{s})$ is the pre-twist of the chord.
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@ -74,26 +76,27 @@ The external forces, such as aerodynamic forces, on the blade are described by f
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The pitch moment $M_{p i t c h}$ is associated with this pitch angle rotation and the generator torque is given by $T_{g e n}$ .
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In summary, the state of the system is given by $(u,\nu,\,\theta,\,\beta,\,\phi)$ where $(\phi,\beta)$ can be prescribed, given by external models or described by the derived equations. The system is exposed to the external loads $(f_{u},f_{\nu},f_{w},\,M_{}$ , $T_{g e n},M_{p i t c h})$ , where $(T_{g e n},\,M_{p i t c h})$ only affects the $(\phi,\beta)$ equations, respectively.
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叶片旋转惯性矩之和由 $J_{g e n}$ 描述。每个叶片段的惯性由集中质量 $m=m(s)$ 和旋转惯性矩 $I_{c g}=I_{c g}(s)$ (在截面平面内旋转) 描述，两者均与重心 $c g$ 相关。假设重心位于弦线上，弦线到 ea 的距离为 $l_{c g}=l_{c g}(s)$。弦线旋转，相对于 $(x,z)$ 平面的角度为 ${\overline{{\theta}}}+\theta$，其中 $\overline{{\theta}}=\overline{{\theta}}(\mathrm{s})$ 是弦线的预扭角。
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轮毂、齿轮箱和发电机的转动惯量之和由 $J_{g e n}$ 描述。叶片的惯量由每个叶片截面的集中质量 $m=m(s)$ 和转动惯量 $I_{c g}=I_{c g}(s)$（用于横截面平面内的转动）描述，两者都与重心 $cg$ 相关。重心假设位于弦线上，其到弹性轴的距离为 $l_{c g}=l_{c g}(s)$。弦线发生旋转，相对于 $(x,z)$ 平面的角度为 ${\overline{{\theta}}}+\theta$，其中 $\overline{{\theta}}=\overline{{\theta}}(\mathrm{s})$ 是弦线的预扭角。
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叶片上的外部力，例如气动力，由四个分量描述；三个力 $(f_{u},f_{\nu},f_{w})=(f_{u}(s,\,t),f_{\nu}(s,\,t),f_{w}(s,\,t))$ 分别作用于 $(x,y,z)$ 方向，以及一个扭矩 $M=M(s,\,t)$。这些力作用在叶片的弹性轴上。
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作用在叶片上的外部力（如气动力）由四个分量描述：分别沿 $(x,y,z)$ 方向的三个力 $(f_{u},f_{\nu},f_{w})=(f_{u}(s,\,t),f_{\nu}(s,\,t),f_{w}(s,\,t))$ 和一个扭转力矩 $M=M(s,\,t)$。这些力作用在叶片的弹性轴上。
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俯仰力矩 $M_{p i t c h}$ 与此俯仰角度旋转相关，发电机扭矩由 $T_{g e n}$ 给出。
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总而言之，系统的状态由 $(u,\nu,\,\theta,\,\beta,\,\phi)$ 给出，其中 $(\phi,\beta)$ 可以由外部模型规定，或由推导出的方程描述。系统暴露于外部载荷 $(f_{u},f_{\nu},f_{w},\,M_{}$ , $T_{g e n},M_{p i t c h})$，其中 $(T_{g e n},\,M_{p i t c h})$ 分别仅影响 $(\phi,\beta)$ 方程。
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变桨力矩 $M_{p i t c h}$ 与此变桨角度旋转相关联，发电机扭矩由 $T_{g e n}$ 给出。
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总之，系统的状态由 $(u,\nu,\,\theta,\,\beta,\,\phi)$ 给出，其中 $(\phi,\beta)$ 可以被给定，由外部模型给出或由推导出的方程描述。系统承受外部载荷 $(f_{u},f_{\nu},f_{w},\,M_{}$ , $T_{g e n},M_{p i t c h})$，其中 $(T_{g e n},\,M_{p i t c h})$ 分别只影响 $(\phi,\beta)$ 方程。
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# Derivation of the Equations of Motion
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The derivation of the equations of motion follows the method used in Hodges and Dowell.3 First, the potential and kinetic energies for the system are set-up, then the equations of motion and boundary condition equations are derived from these energy expressions using the extended Hamilton’s principle.11
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运动方程的推导遵循 Hodges 和 Dowell 所用的方法。³ 首先，建立系统的势能和动能，然后利用扩展的哈密顿原理，从这些能量表达式中推导出运动方程和边界条件方程。¹¹
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# Order Scheme
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To avoid unnecessary complications of the equations of motion, relatively small terms are neglected. This is done in a consistent manner by introducing an ordering scheme, assuming $\left(\frac{u}{R},\frac{\nu}{R},\frac{l_{p i}}{R},\frac{l_{c g}}{R},\theta,c\tilde{\theta}^{\prime},c\overline{{{\theta}}}^{\prime},\frac{m^{\prime}l_{c g}}{m l_{c g}^{\prime}}\right)$ to be of order $\varepsilon,$ , where $c=c(s)$ is the local chord, $\varepsilon<<1$ is a bookkeeping parameter denoting the smallness of terms, $(\mathbf{\partial})\equiv{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}\,$ and $(\mathbf{\omega})^{'}\equiv\frac{\mathrm{d}\mathbf{\omega}}{\mathrm{d}s}$ . The angular acceleration of the rotor is assumed to be $\ddot{\phi}{\cal R}\sim i i$ . The ordering scheme is applied such that terms of order $\varepsilon^{\mathrm{n+2}}$ or higher are neglected, where $n$ is the lowest order of a term in the expression.
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为了避免运动方程的过度复杂化，相对较小的项被忽略。这通过引入排序方案以一致的方式进行，假设 $\left(\frac{u}{R},\frac{\nu}{R},\frac{l_{p i}}{R},\frac{l_{c g}}{R},\theta,c\tilde{\theta}^{\prime},c\overline{{{\theta}}}^{\prime},\frac{m^{\prime}l_{c g}}{m l_{c g}^{\prime}}\right)$ 为 $\varepsilon$ 阶，其中 $c=c(s)$ 是局部叶片弦长，$\varepsilon<<1$ 是一个记账参数，表示项的微小程度，$(\mathbf{})\equiv{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}\,$ 和 $(\mathbf{})^{'}\equiv\frac{\mathrm{d}\mathbf{}}{\mathrm{d}s}$ 。风轮的角加速度被假定为 $\ddot{\phi}{\cal R}\sim i i$ 。排序方案应用于使阶数为 $\varepsilon^{\mathrm{n+2}}$ 或更高阶的项被忽略，其中 $n$ 是表达式中项的最低阶数。
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To avoid unnecessary complications of the equations of motion, relatively small terms are neglected. This is done in a consistent manner by introducing an ordering scheme, assuming $\left(\frac{u}{R},\frac{\nu}{R},\frac{l_{p i}}{R},\frac{l_{c g}}{R},\theta,c\tilde{\theta}^{\prime},c\overline{{{\theta}}}^{\prime},\frac{m^{\prime}l_{c g}}{m l_{c g}^{\prime}}\right)$ to be of order $\varepsilon,$ , where $c=c(s)$ is the local chord, $\varepsilon<<1$ is a bookkeeping parameter denoting the smallness of terms, $(\mathbf{})\equiv{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}\,$ and $(\mathbf{})^{'}\equiv\frac{\mathrm{d}\mathbf{\omega}}{\mathrm{d}s}$ . The angular acceleration of the rotor is assumed to be $\ddot{\phi}{\cal R}\sim i i$ . The ordering scheme is applied such that terms of order $\varepsilon^{\mathrm{n+2}}$ or higher are neglected, where $n$ is the lowest order of a term in the expression.
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为避免运动方程不必要的复杂性，相对较小的项被忽略。这是通过引入一个量级排序方案以一致的方式完成的，假设 $\left(\frac{u}{R},\frac{\nu}{R},\frac{l_{p i}}{R},\frac{l_{c g}}{R},\theta,c\tilde{\theta}^{\prime},c\overline{{{\theta}}}^{\prime},\frac{m^{\prime}l_{c g}}{m l_{c g}^{\prime}}\right)$ 为 $\varepsilon$ 量级，其中 $c=c(s)$ 是局部弦长，$\varepsilon<<1$ 是一个表示项的小量的记账参数，且 $(\mathbf{})\equiv{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}\,$ 和 $(\mathbf{})^{'}\equiv\frac{\mathrm{d}\mathbf{\omega}}{\mathrm{d}s}$ 。风轮的角加速度被假定为 $\ddot{\phi}{\cal R}\sim i i$ 。该量级排序方案的应用使得 $\varepsilon^{\mathrm{n+2}}$ 或更高量级的项被忽略，其中 $n$ 是表达式中项的最低量级。
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# Transformations
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Before deriving the equations of motion, a transformation between the rotating $(x,\,y,\,z)$ -frame in which the blade deflection is described and the inertial $(X,\,Y,\,Z)$ -frame is found:
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在推导运动方程之前，需要找到旋转坐标系 $(x,\,y,\,z)$——用于描述叶片变形的坐标系，与惯性坐标系 $(X,\,Y,\,Z)$ 之间的转换关系：
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在推导运动方程之前，首先找到一个在其中描述叶片变形的旋转 $(x,\,y,\,z)$ 坐标系与惯性 $(X,\,Y,\,Z)$ 坐标系之间的变换：
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[\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}]^{\mathrm{T}}\,{=}\,\mathbf{T}_{\beta}\mathbf{T}_{\phi}[\mathbf{I},\mathbf{J},\mathbf{K}]^{T}
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@ -101,9 +104,10 @@ $$
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where $[\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}]^{\mathrm{T}}$ and $[\mathbf{I},\mathbf{J},\mathbf{K}]^{\mathrm{T}}$ are the unit vectors in the $(x,y,z)$ and $(X,Y,Z)$ -frames, respectively. The matrices ${\bf{T}}_{\beta}$ and $\mathbf{T}_{\phi}$ are the transformations from the $(\hat{x},\,\hat{y},\,\hat{z})$ -frame to the $(x,\,y,\,z)$ -frame and from the $\left(X,\,Y,\,Z\right)$ - frame to the $\left(\hat{x},\hat{y},\hat{z}\right)$ -frame, respectively. Both matrices are given in Appendix A.
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The transformation between the principle axis and the $(x,y,z)$ -frame is given by ${\bf{T}}_{e}$ and between the chord and the $(x,y,z)$ -frame is given by ${{\bf{T}}_{c}}$ . Both matrices are given in Appendix A.
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其中 $[\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}]^{\mathrm{T}}$ 和 $[\mathbf{I},\mathbf{J},\mathbf{K}]^{\mathrm{T}}$ 分别是 $(x,y,z)$ 和 $(X,Y,Z)$ 坐标系中的单位向量。矩阵 ${\bf{T}}_{\beta}$ 和 $\mathbf{T}_{\phi}$ 分别是从 $(\hat{x},\,\hat{y},\,\hat{z})$ 坐标系到 $(x,\,y,\,z)$ 坐标系的变换，以及从 $\left(X,\,Y,\,Z\right)$ 坐标系到 $\left(\hat{x},\hat{y},\hat{z}\right)$ 坐标系的变换。这两个矩阵见附录A。
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主轴到 $(x,y,z)$ 坐标系的变换由 ${\bf{T}}_{e}$ 表示，弦到 $(x,y,z)$ 坐标系的变换由 ${{\bf{T}}_{c}}$ 表示。这两个矩阵见附录A。
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其中 $[\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}]^{\mathrm{T}}$ 和 $[\mathbf{I},\mathbf{J},\mathbf{K}]^{\mathrm{T}}$ 分别是 $(x,y,z)$ 坐标系和 $(X,Y,Z)$ 坐标系中的单位向量。矩阵 ${\bf{T}}_{\beta}$ 和 $\mathbf{T}_{\phi}$ 分别是从 $(\hat{x},\,\hat{y},\,\hat{z})$ 坐标系到 $(x,\,y,\,z)$ 坐标系的变换，以及从 $\left(X,\,Y,\,Z\right)$ 坐标系到 $\left(\hat{x},\hat{y},\hat{z}\right)$ 坐标系的变换。这两个矩阵均在附录 A 中给出。
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主轴与 $(x,y,z)$ 坐标系之间的变换由 ${\bf{T}}_{e}$ 给出，弦与 $(x,y,z)$ 坐标系之间的变换由 ${{\bf{T}}_{c}}$ 给出。这两个矩阵均在附录 A 中给出。
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# Potential Energy
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The strain in the blade is measured by Green’s strain tensor (cf. Hodges and Dowell3):
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@ -119,28 +123,29 @@ $$
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is a position vector describing a point in the undeformed blade, where $(\eta_{0},\,\xi_{0})$ is the position of the point in the undeformed blade section. The same point in the deformed blade is given by
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是描述未变形叶片中某一点的位置向量，其中$(\eta_{0},\,\xi_{0})$是该点在未变形叶片剖面的位置。该点在变形叶片中的位置表示为：
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是一个位置矢量，描述了未变形叶片中的一个点，其中 $(\eta_{0},\,\xi_{0})$ 是该点在未变形叶片截面中的位置。变形叶片中的同一点由下式给出
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\mathbf{r}_{\mathrm{1}}\!=\![\mathbf{I},\mathbf{J},\mathbf{K}]\mathbf{T}_{\phi}^{\mathrm{T}}\mathbf{T}_{\beta}^{\mathrm{T}}\big[[l_{p i}+u,\nu,w_{0}+w_{\mathrm{1}}]^{\mathrm{T}}+\mathbf{T}_{\mathrm{c}}^{\mathrm{T}}{[\eta_{\mathrm{1}},\xi_{\mathrm{1}},0]}^{\mathrm{T}}\big]
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where $(\eta_{1},\,\xi_{1})$ is the position of the point in the deformed blade section.
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其中 $(\eta_{1},\,\xi_{1})$ 为叶片变形段中点的坐标。
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其中 $(\eta_{1},\,\xi_{1})$ 是变形的叶片截面中该点的位置。
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Assuming uniaxial stress $\sigma_{22}=\sigma_{33}=\sigma_{23}=0$ , where $\sigma_{i j}$ is the stress tensor. Applying Hook’s law gives $\varepsilon_{22}$ $=\varepsilon_{33}=-\nu\varepsilon_{11}$ , where $\nu$ is Poisson’s ratio. By expanding these relations to second order of the bookkeeping parameter $\varepsilon$ , it can be shown that $\eta_{1}=\eta_{0}$ and $\xi_{1}=\xi_{0}$ to second order. Expanding the remanding strain tensor components to second order of $\varepsilon$ gives
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假设单轴应力 $\sigma_{22}=\sigma_{33}=\sigma_{23}=0$ ，其中 $\sigma_{i j}$ 为应力张量。应用胡克定律得到 $\varepsilon_{22}$ $=\varepsilon_{33}=-\nu\varepsilon_{11}$ ，其中 $\nu$ 为泊松比。通过将这些关系展开到簿记参数 $\varepsilon$ 的二阶，可以证明 $\eta_{1}=\eta_{0}$ 且 $\xi_{1}=\xi_{0}$ 到二阶。将剩余应变张量分量展开到 $\varepsilon$ 的二阶，得到
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假设单轴应力 $\sigma_{22}=\sigma_{33}=\sigma_{23}=0$，其中 $\sigma_{i j}$ 是应力张量。应用胡克定律得到 $\varepsilon_{22}$ $=\varepsilon_{33}=-\nu\varepsilon_{11}$，其中 $\nu$ 是泊松比。将这些关系式展开到记账参数 $\varepsilon$ 的二阶，可以证明 $\eta_{1}=\eta_{0}$ 和 $\xi_{1}=\xi_{0}$ 到二阶。将剩余的应变张量分量展开到 $\varepsilon$ 的二阶，得到
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\begin{array}{l l}{{\displaystyle\varepsilon_{11}\!=\!-u^{\prime\prime}\big(\eta\cos(\overline{{\theta}})-\xi\sin\!\big(\hat{\theta}\big)\big)-\nu^{\prime\prime}\big(\eta\sin\!\big(\hat{\theta}\big)+\xi\cos\!\big(\overline{{\theta}}\big)\big)}}\\ {{\displaystyle\varepsilon_{12}\!=\!-\frac{1}{2}\xi\theta^{\prime},\quad\!\varepsilon_{13}\!=\!\frac{1}{2}\eta\theta^{\prime}}}\end{array}
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Using engineering strain $\varepsilon_{s s}=\varepsilon_{11}$ , $\varepsilon_{s\eta}=2\varepsilon_{12}$ , $\varepsilon_{s\xi}=2\varepsilon_{13}$ and stresses $\sigma_{\mathrm{ss}}=E\varepsilon_{s s},\,\sigma_{\mathrm{s}\eta}=G\varepsilon_{s\eta},\,\sigma_{s\xi}=G\varepsilon_{s\xi}$ where $E$ is the tensile modulus of elasticity (Young’s modulus) and $G$ is the shear modulus of elasticity, the elastic energy becomes
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使用工程应变 $\varepsilon_{s s}=\varepsilon_{11}$ , $\varepsilon_{s\eta}=2\varepsilon_{12}$ , $\varepsilon_{s\xi}=2\varepsilon_{13}$ 和应力 $\sigma_{\mathrm{ss}}=E\varepsilon_{s s},\,\sigma_{\mathrm{s}\eta}=G\varepsilon_{s\eta},\,\sigma_{s\xi}=G\varepsilon_{s\xi}$ ，其中 $E$ 为抗拉弹性模量（杨氏模量），$G$ 为抗剪弹性模量，弹性势能变为：
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使用工程应变 $\varepsilon_{s s}=\varepsilon_{11}$ 、$\varepsilon_{s\eta}=2\varepsilon_{12}$ 、$\varepsilon_{s\xi}=2\varepsilon_{13}$ 和应力 $\sigma_{\mathrm{ss}}=E\varepsilon_{s s}$、$\sigma_{\mathrm{s}\eta}=G\varepsilon_{s\eta}$、$\sigma_{s\xi}=G\varepsilon_{s\xi}$，其中 $E$ 为拉伸弹性模量（杨氏模量），$G$ 为剪切弹性模量，弹性应变能变为
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\delta V_{e l a}=\int_{r}^{R}\iint_{A}{(\sigma_{s s}\delta\varepsilon_{s s}+\sigma_{s\eta}\delta\varepsilon_{s\eta}+\sigma_{s\xi}\delta\varepsilon_{s\xi})\mathrm{d}\eta\mathrm{d}\xi\mathrm{d}s}
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The potential energy associated with the gravity field measured from the inertial frame $\left(X,\,Y,\,Z\right)$ is described by
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与惯性系 $\left(X,\,Y,\,Z\right)$ 测量的重力场相关的势能由以下公式描述：
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从惯性坐标系 $\left(X,\,Y,\,Z\right)$ 测量的与重力场相关的势能由以下公式描述：
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@ -158,7 +163,7 @@ is a position vector describing the center of gravity.
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# Kinetic Energy
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The inertia of the system is described by a mass pr. length $m$ , a moment of rotational inertia pr. length $I_{c g}$ of the blade and a moment of rotational inertia $J_{g e n}$ that describes the hub, gear box and generator. The use of concentrated mass description of the blade inertia, instead of a more general description integration over the cross section, leads much to less complexity in the derivation. A general description will lead to extra terms, such as rotational inertiae about $x-$ and $y_{\mathrm{~\,~}}$ -axis, but these terms turn out to be relatively small anyway. The kinetic energy of the system is given by
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系统的惯性由单位长度的质量 $m$，叶片（blade）的单位长度转动惯量 $I_{c g}$ 以及描述（hub）、齿轮箱和发电机的转动惯量 $J_{g e n}$ 来描述。采用集中质量描述叶片的惯性，而不是更一般的横截面积分描述，可以大大简化推导过程。更一般的描述会导致额外的项，例如关于 $x-$ 和 $y_{\mathrm{~\,~}}$ -轴的转动惯量，但这些项最终来说相对较小。系统的动能由以下公式给出：
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系统的惯性由单位长度质量 $m$、叶片的单位长度转动惯量 $I_{c g}$ 以及描述轮毂、齿轮箱和发电机的转动惯量 $J_{g e n}$ 描述。使用叶片惯性的集中质量描述，而不是更一般的截面积分描述，大大降低了推导的复杂性。一般描述会引入额外的项，例如绕 $x$ 轴和 $y$ 轴的转动惯量，但这些项无论如何都相对较小。系统的动能由下式给出
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$$
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T\!=\!\frac{1}{2}J_{g c n}\dot{\phi}^{2}+\int_{r}^{R}\!\Big(\frac{1}{2}m\mathbf{r}_{c g}^{\mathrm{T}}\cdot\dot{\mathbf{r}}_{c g}+\frac{1}{2}I_{c g}\big(\dot{\beta}+\dot{\theta}\big)^{2}\Big)\mathrm{d}s
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$$
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