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# 向量的微分
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动力学这一学科涉及各种变化，例如粒子在参考系中位置的变化、机械系统配置的变化等。为了描述这些变化的方式，我们使用向量微积分，这可以视作对通常教授的标量函数微积分材料的扩展。这种扩展主要是为了适应参考系在动力学中许多感兴趣的向量问题中起着核心作用的事实。例如，设 $\pmb{A}$ 和 $\pmb{B}$ 是彼此相对移动但始终有一个共同点 $o$ 的参考系，并设 $\pmb{P}$ 是固定在 $\pmb{A}$ 中的一点，因而在 $\pmb{B}$ 中是运动的。那么，在 $\pmb{A}$ 中 $\pmb{P}$ 的速度为零，而在 $\pmb{B}$ 中 $\pmb{P}$ 的速度不为零。现在，这两个速度都是相同向量 ${\mathfrak{r}}^{o r}$ 关于时间的导数，即从 $^o$ 到 $\pmb{P}$ 的位置矢量。因此，不能简单地谈论 ${\mathsf{r}}^{o P}$ 关于时间的导数。显然，用来微分向量的计算必须允许我们区分在参考系 $\pmb{A}$ 中关于标量变量的微分和在相同变量中但是参考系 $\pmb{B}$ 的微分。
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在应用动力学的基本原理时，如牛顿第二定律或角动量原理，只需要普通向量微积分，即关于单一标量变量（通常是时间）的向量微分理论。考虑到更高级的动力学原理，如本书后续章节中所呈现的，还需对向量进行多个标量变量（例如广义坐标和广义速度）的偏导数。因此，本章专门讨论了在接下来的章节中需要的定义及其推论。
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当一个向量 \(\mathbf{v}\) 的大小和/或在参考系 \(A\) 中的方向依赖于标量变量 \(q\) 时，\(\mathbf{v}\) 被称为在 \(A\) 中关于 \(q\) 的向量函数。否则，\(\mathbf{v}\) 在 \(\pmb A\) 中被认为是独立于 \(\pmb q\) 的。
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例如，在图 1.1.1 中，\(\pmb{P}\) 表示一个点在刚体球面 \(S\) 上移动。像任何刚体一样，它可以被视为一个参考系（注意：参考系不应与坐标系统混淆；许多坐标系统可以嵌入到给定的参考系中）。如果 \(\pmb{\Psi}\) 是从球心 \(c\) 到点 \(\pmb{P}\) 的位置向量，而 \(\pmb q_{1}\) 和 \(\pmb q_{2}\) 是图中所示的角度，则在 \(S\) 中，\(\pmb{\mathbf{p}}\) 是关于 \(\pmb q_{1}\) 和 \(\pmb q_{2}\) 的向量函数，因为 \(\pmb{\mathbb{p}}\) 在 \(s\) 中的方向依赖于 \(\pmb q_{1}\) 和 \(q_{2}\)，但 \(\pmb{\mathsf{p}}\) 在 \(S\) 中独立于 \(\pmb q_{3}\)，其中 \(\pmb q_{3}\) 是从 \(c\) 到图中所示位置的点 \(\pmb R\) 的距离。从 \(c\) 到 \(\pmb R\) 的位置向量 \(\mathbf{r}\) 在 \(S\) 中是关于 \(\pmb q_{3}\) 的向量函数，但在 \(S\) 中独立于 \(\pmb q_{1}\) 和 \(\pmb q_{2}\)，而从 \(\pmb{P}\) 到 \(\pmb R\) 的位置向量 \(\pmb q\) 在 \(S\) 中是关于 \(\pmb q_{1}\), \(\boldsymbol{q}_{2}\), 和 \(\pmb q_{3}\) 的向量函数。
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